1.Неопределенный и определенный интегралы

1.1.Определение неопределенного интеграла. Методы интегрирования

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на (a; b), если

F'(x) = f(x) для любого x (a;b).

Если F(x) и Ф(x) две первообразные функции f(x), то Ф(x) = F(x) + C, т. е. две любые первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину C.

Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом

В равенстве (1.1) f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x) dx – подынтегральным выражением.

Нахождение неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции есть действие интегрирования. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество плоских кривых y = F(x) + C, которые называют интегральными кривыми.

Свойства неопределенного интеграла:

1.(∫ f(x)dx)′ = f(x).

2.∫dϕ(x) = ϕ(x)+C.

3.∫af(x)dx = a∫ f(x)dx.

4.∫(f(x) ± ϕ(x))dx = ∫ f(x)dx ± ∫ϕ(x)dx.

4

Таблица основных неопределенных интегралов:

xn+1

1. ∫ xndx = n +1 +C,(n ≠ −1).

2. ∫ dxx =ln x +C.

3. ∫exdx = ex +C.

4. ∫axdx = ax +C. ln a

5.∫sin xdx = −cos x +C.

6.∫cos xdx = sin x +C.

7.∫ cosdx2 x = tgx +C.

8.∫ sindx2 x = −ctgx +C.

5

При решении примеров такого типа можно было бы явным образом не вводить переменной t, а поступать следующим образом:

2) Интегрирование по частям

Если u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, то справедлива

формула ∫udv = uv − ∫vdu.

Данную формулу интегрирования по частям применяют в том случае,

когда интеграл ∫vdu более простой в вычислении по сравнению с ∫udv.

При этом следует иметь в виду, что если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую или показательную функции, то к u следует отнести многочлен, а оставшееся выражение к dv. Если же подинтегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за u, а остальное за dv.

Примеры:

а) ∫ x cos xdx,

б) ∫x2 ln xdx.

Решение:

7

3) Интегрирование рациональных дробей

Дроби следующих четырех типов называются простейшими:

где m, n – натуральные числа, а ax2 + bx + c не имеет действительных корней. Интегрирование дробей первых двух типов производится непосредственно. При интегрировании дробей третьего типа могут возникать

две ситуации:

а) если выражение MX + N является производной от квадратного трехчлена ax2 + bx + c, то интеграл берется по формуле (2) таблицы основных интегралов;

б) если же выражение MX + N не совпадает с производной трехчлена ax2 + bx + c, то его следует преобразовать так, чтобы из него можно было выделить производную трехчлена. После этого интеграл представляется в виде суммы двух интегралов, один из которых берется по формуле (2) , а

8

другой интеграл приводятся к табличным интегралам (13-14) путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене.

Интегрирование дроби четвертого типа связано с применением рекуррентной формулы вида

Интегрирование произвольной рациональной дроби

Pm (x) = am xm + ...+ a1x + a0

Qn (x) bn xn +...+b1x +b0

с действительными коэффициентами производится следующим образом: если m < n, то дробь называется правильной, если же m ≥ n, то дробь

Pm(x)

Qn (x) - неправильная и ее необходимо представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби, т. е.

Pm(x) = Lm−n (x)+ Rr (x) ,

Qn(x) Qn(x)

где Lm – n(x) и Rr(x) – многочлены степени m – n ≥ 0 и r соответственно, причем r ≤ n-1, т. е.

Rr (x)

Qn (x) - правильная.

Pm(x)

Выделение целой части в дроби Qn (x) производится делением числителя на

знаменатель «уголком».

Пример. Выделить целую часть дроби

Pm(x) = x4 −3x2 −3x −2 Qn(x) x3 − x2 −2x

9

Делим числитель на знаменатель таким образом

P(x)

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь Q(x), знаменатель

которой Q(x) имеет разложение

Qn (x) = cn (x − a)k (x −b)m ...(x2 + px + q)r (x2 + p1x + q1 )s ...,

может быть представлена единственным образом в виде суммы конечного числа простейших дробей следующим образом:

10

одинаковых степенях x у многочлена P(x) и многочлена, который получается в числителе правой части после сложения всех правильных дробей (метод неопределенных коэффициентов).

Продолжим рассматривать предыдущий пример

Полученную правильную дробь представим в виде суммы простейших дробей

Приведя правую часть к общему знаменателю, определив дополнительные множители к каждой дроби, формируем числитель правой части и приравниваем его к числителю левой части:

− x − 2 = A(x − 2)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x − 2) =

=(A + B +C)x2 +( −A + B − 2C)x − 2A

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему

A + B +C =0− A + B −2C = −1−2A = −2

Откуда A =1,B = − 23 ,C = − 31 .

Следовательно

и

11

Приведя простейшие дроби к общему знаменателю, и приравнивая числители, получим

x3 +1 = A(x2 +1)2 +(Bx +C)x(x2 +1) +(Dx + E)x

x3 +1 = (A + B)x4 + Cx3 + (2A + B + D)x2 + (C + E)x + A .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x A + B = 0

C = 1

2A + B + D = 0 C + E = 0

12

A = 1

Решая систему, находим A = 1, B = -1, C = 1, D = -1, E = -1.

Следовательно

тогда:

Последний интеграл находим по рекуррентной формуле при n = 2 интегрирования простейших дробей четвертого типа

4) Интегрирование тригонометрических функций

а) Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx, где m и n – целые числа.

Если хотя бы одно из чисел m и n – нечетное положительное, то применяют подстановку cosx = z, при m – нечетном и sinx = z, при n – нечетном.

Найти интеграл ∫sin2 x cos3 xdx .

Применяем подстановку sinx = z, cosxdx = dz

Если m и n – четные положительные, то степени понижаются с применением

13

формул вида:

тригонометрии

sin mxcosnx = 21 (sin(m − n)x + sin(m + n)x), sin mxsin nx = 21 (cos(m − n)x − cos(m + n)x),

14