- •Тема 1. Математические модели и численные методы 17
- •Тема 2. Задачи линейной алгебры 23
- •Тема 7. Методы оптимизации 59
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа
- •Пояснительная записка Цель преподавания дисциплины
- •Задачи изучения дисциплины
- •1. Содержание дисциплины
- •2. Индивидуальные практические работы, их характеристика
- •3. Контрольные работы, их характеристика
- •Литература
- •4.1. Основная
- •4.2. Дополнительная
- •5. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов и технических средств обучения
- •Протокол согласования учЕбной программы по изучаемой учебной дисциплине с другими дисциплинами специальности
- •1.2. Как исследуются физические явления и решаются задачи
- •1.3. Погрешность вычислений
- •1.4. Источники возникновения погрешности расчетов
- •1.5. Итерационные методы решения задач
- •Тема 2. Задачи линейной алгебры
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Прямые методы решения слау
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод прогонки
- •2.2.3. Метод квадратного корня
- •2.3. Итерационные методы решения слау
- •2.3.1. Метод простой итерации
- •2.3.2. Метод Зейделя
- •2.3.3. Понятие релаксации
- •2.4. Нахождение обратных матриц
- •2.5. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •2.5.1. Интерполяционный метод
- •2.5.2. Метод вращений Якоби
- •2.5.3. Итерационный метод
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Аппроксимация функций
- •3.1. Зачем нужна аппроксимация функций?
- •3.2. Интерполяция
- •3.3. Многочлены и способы интерполяции
- •3.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •3.3.2. Линейная и квадратичная интерполяции
- •3.3.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •3.3.4. Интерполяция общего вида
- •3.4. Среднеквадратичная аппроксимация
- •3.4.1. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •Тема 4. Вычисление производных и интегралов
- •4.1. Формулы численного дифференцирования
- •4.2. Формулы численного интегрирования
- •4.2.1. Формула средних
- •4.2.2. Формула трапеций
- •4.2.3. Формула Симпсона
- •4.2.4. Формулы Гаусса
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •5.1. Как решаются нелинейные уравнения
- •5.2. Итерационные методы уточнения корней
- •5.2.1. Метод простой итерации
- •5.2.2. Метод Ньютона
- •5.2.3. Метод секущих
- •5.2.4. Метод Вегстейна
- •5.2.5. Метод парабол
- •5.2.6. Метод деления отрезка пополам
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.2. Основные положения метода сеток для решения задачи Коши
- •6.2.1. Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера)
- •6.2.2. Неявная схема 1-го порядка
- •6.2.3. Неявная схема 2-го порядка
- •6.2.4. Схема Рунге – Кутта 2-го порядка
- •6.2.5. Схема Рунге – Кутта 4-го порядка
- •6.3. Многошаговые схемы Адамса
- •6.3.1. Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка
- •6.3.2. Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка
- •6.3.3. Неявная схема Адамса 3-го порядка
- •6.4. Краевая (граничная) задача
- •6.5. Численные методы решения краевых задач
- •6.5.1. Метод стрельбы
- •6.5.2. Метод конечных разностей
- •Контрольные вопросы
- •Методы оптимизации многопараметрических функций Тема 7. Методы оптимизации
- •7.1. Постановка задач оптимизации, их классификация
- •7.2. Методы нахождения минимума функции одной переменной
- •7.2.1. Метод деления отрезка пополам
- •7.2.2. Метод золотого сечения
- •7.2.3. Метод Фибоначчи
- •7.2.4. Метод последовательного перебора
- •7.2.5. Метод квадратичной параболы
- •7.2.6. Метод кубической параболы
- •7.3. Методы нахождения безусловного минимума функции нескольких переменных
- •7.3.1. Классификация методов
- •7.4. Методы нулевого порядка
- •7.4.1. Метод покоординатного спуска
- •7.4.2. Метод Хука – Дживса
- •7.4.3. Метод Нелдера – Мида
- •7.5. Методы первого порядка
- •7.5.1. Метод наискорейшего спуска
- •7.5.2. Метод сопряженных градиентов Флетчера – Ривса
- •7.6. Методы второго порядка
- •7.6.1. Обобщенный метод Ньютона – Рафсона
- •7.7. Методы переменной метрики
- •7.7.1. Метод Дэвидона – Флэтчера – Пауэлла
- •7.8. Методы условной минимизации функций
- •7.8.1. Метод штрафных функций
- •7.8.2. Метод барьерных функций
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Практический раздел Контрольные работы
- •Контрольная работа №1
- •Тема 1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение обратных матриц
- •Тема 2. Аппроксимация функций
- •Тема 3. Вычисление производных и определенных интегралов
- •Тема 4. Собственные значения и собственные векторы
- •Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •Тема 6. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №2
- •Тема 7. Методы нахождения безусловного минимума
- •Тема 8. Методы нахождения условного минимума
Контрольные вопросы
Что такое условный и локальный минимум, в чем их отличие?
В чем суть метода последовательного перебора?
Объясните графически, почему метод золотого сечения эффективнее метода деления пополам?
Дайте геометрическую интерпретацию методов квадратичной и кубической парабол.
В чем отличие методов нулевого, 1-го и 2-го порядков?
В чем суть метода покоординатного спуска?
В чем суть метода Хука – Дживса?
В чем суть метода Нелдера – Мида?
В чем суть метода наискорейшего спуска?
В чем суть метода Флетчера – Ривса?
В чем суть метода Давидона – Флетчера – Пауэлла?
В чем суть метода обобщенного метода Ньютона – Рафсона?
В чем суть метода барьерных функций?
В чем суть метода штрафных функций?
Литература
Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978.
Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов – М. : Наука, 1975.
Численные методы анализа / В. П. Демидович [и др.]. – М. : Физматгиз, 1963.
Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков – М. : Наука, 1982.
Вычислительные методы высшей математики / В. И. Крылов [и др.]. – Мн. : Вышэйшая школа, 1972. – Т.1.
Вычислительные методы высшей математики / В. И. Крылов [и др.]. – Мн. : Вышэйшая школа, 1975. – Т.2.
Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт [и др.]. – М. : Мир, 1980.
Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп – М. : Мир, 1982.
Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н. В. Копченова, И. А. Марон – М. : Наука, 1972.
Самарский, А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1982.
Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков – М. : Физматгиз, 1962. – Т.1.
Березин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков – М. : Физматгиз, 1970. – Т.2.
Банди, Б. Методы оптимизации: Вводный курс / Б. Банди. – М. : Мир, 1989.
Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн – М. : Мир, 1972.
Дьяконов, В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для ПЭВМ / В. П. Дьяконов – М. : Наука, 1989.
Практический раздел Контрольные работы
Рабочей программой дисциплины «Вычислительные методы и методы оптимизации в экономике» предусмотрено выполнение двух контрольных работ. Контрольные работы должны содержать тексты программ и результаты контрольных расчетов на одном из алгоритмических языков (CИ, Jawa или Pascal) по нижеприведенным темам.
Контрольная работа №1
Контрольная работа №1 должна содержать тексты 6 программ и результаты контрольных расчетов по основам численных методов (темы № 1-6). Задания для каждой темы выбираются из перечня заданий в конце каждой темы согласно номеру варианта. Вариант контрольной работы определяется двумя последними цифрами студенческого билета. Так как вариантов 15, то, если последние цифры билета больше 15, номер варианта повторяется циклически через 15. В контрольной работе для каждой темы приводится текст программы и распечатка результатов тестового задания, приводимого в задании, либо заданного самим студнтом.