3.3.2. Линейная и квадратичная интерполяции

Иногда при интерполяции по заданной таблице из m>3 точек применяют квадратичную n=3 или линейную n=2 интерполяцию. В этом случае для приближенного вычисления значения функции f(x) в текущей точке x_Т находят в таблице ближайшие к этой точке (i-1), i, (i+1) узлы из общей таблицы, строят интерполяционный многочлен Ньютона первой или второй степени по формулам

(3.7)

и за значение f(x) принимают (линейная интерполяция) или (квадратичная интерполяция).

3.3.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Лагранжем была предложена своя форма записи многочлена (3.3) в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений:

. (3.8)

Произведение выбрано так, что во всех узлах, кроме k-го, оно обращается в нуль, а в k-м узле оно равно единице:

Поэтому из выражения (3.8) видно, что

3.3.4. Интерполяция общего вида

Следует отметить, что ввиду громоздкости многочлены Ньютона и Лагранжа уступают по эффективности расчета многочлену общего вида (3.3), если предварительно найдены коэффициенты Поэтому, когда требуется производить многократные вычисления многочлена, построенного по одной таблице, оказывается выгодно один раз найти коэффициенты (решив систему линейных алгебраических уравнений) и затем использовать формулу (3.3). Коэффициенты находят прямым решением системы (3.2) c матрицей (3.4), затем вычисляют его значения по экономно программируемой формуле (алгоритм Горнера)

. (3.9)

3.4. Среднеквадратичная аппроксимация

Суть среднеквадратичной аппроксимации заключается в том, что параметры функции подбираются такими, чтобы обеспечить минимум расстояния между функциями f(x) и в пространстве , т. е. из условия

. (3.12)

В случае линейной аппроксимации (3.1) задача (3.12) сводится к решению СЛАУ для нахождения необходимых коэффициентов :

(3.13)

где – скалярные произведения в L_2. Матрица системы (3.13) симметричная, и ее можно решать методом квадратного корня. Особенно просто эта задача решается, если выбрана ортогональная система функций , т. е. такая, что

Тогда матрица СЛАУ (3.13) диагональная и параметры находятся по формулам

. В этом случае представление (3.1) называется обобщенным рядом Фурье, а называются коэффициентами Фурье.

3.4.1. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является частным случаем среднеквадратичной аппроксимации. При использовании метода наименьших квадратов аналогично задаче интерполяции в области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f(x) и (x) должны быть близки, выбирают систему различных точек (узлов) x₁, ...,x_m, число которых больше, чем количество искомых параметров , Далее, потребовав, чтобы сумма квадратов невязок во всех узлах была минимальна (см. рис. 3.2)

(3.13)

находят из этого условия параметры .

В общем случае эта задача сложная и требует применения численных методов оптимизации. Однако в случае линейной аппроксимации (3.1), составляя условия минимума суммы квадратов невязок во всех точках (в точке минимума все частные производные должны быть равны нулю)

(3.14)

получаем систему n линейных уравнений относительно n неизвестных следующего вида:

или , (3.15)

где – векторы-столбцы функций. Элементы матрицы G и вектора в (3.15) определяются выражениями

– скалярные произведения векторов.

Система (3.15) имеет симметричную матрицу G и решается методом квадратного корня. При аппроксимации по методу наименьших квадратов обычно применяют такие функции , которые используют особенности решаемой задачи и удобны для последующей обработки.