6.2.1. Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера)

Вычисляя интеграл в (6.4) по формуле левых прямоугольников получим

. (6.6)

Задавая , с помощью (6.6) легко получить все последующие значения , так как формула явно разрешается относительно . Погрешность аппроксимации (h) и соответственно точность ε(h) имеют первый порядок в силу того, что формула левых прямоугольников на интервале имеет погрешность первого порядка, а схема устойчива.

6.2.2. Неявная схема 1-го порядка

Вычисляя интеграл в (6.4) по формуле правых прямоугольников получим

.. (6.7)

Эта схема явно не разрешена относительно , поэтому для получения требуется использовать итерационную процедуру решения уравнения (6.7) (см. метод простой итерации в теме 5):

- номер итерации.

За начальное приближение можно взять значение из предыдущего узла. Обычно, если h выбрано удачно, достаточно сделать 2 – 3 итерации для достижения заданной погрешности . Эффективность неявной схемы заключается в том, что у нее константа устойчивости С₀ значительно меньше, чем у явной схемы.

6.2.3. Неявная схема 2-го порядка

Вычисляя интеграл в (6.4) по формуле трапеций получим

. (6.8)

Так как формула трапеций имеет второй порядок точности, то и погрешность метода имеет второй порядок. Схема (6.8) явно не разрешена относительно , поэтому требуется итерационная процедура (см. предыдущий метод):

6.2.4. Схема Рунге – Кутта 2-го порядка

Вычисляя интеграл в (6.4) по формуле средних прямоугольников получим

. (6.9)

Уравнение разрешено явно относительно , однако в правой части присутствует неизвестное значение в середине отрезка . Для решения этого уравнения используют следующий способ. Вначале по явной схеме (6.6) рассчитывают (предиктор):

После этого рассчитывают по (6.9) (корректор). В результате схема оказывается явной и имеет второй порядок. Заметим, что эта схема получается из схемы предыдущего метода, если в ней выполнять только две итерации (s=1, 2).

6.2.5. Схема Рунге – Кутта 4-го порядка

Вычисляя интеграл в (6.4) по формуле Симпсона получим

. (6.10)

Ввиду того, что формула Симпсона имеет четвертый порядок, погрешность метода тоже имеет четвертый порядок. Можно по-разному реализовать расчет неявного по уравнения (6.10), однако наибольшее распространение получил следующий способ. Вычисляют предиктор

затем корректор по формуле

6.3. Многошаговые схемы Адамса

При построении всех предыдущих схем для вычисления интеграла в правой части (6.4) использовались лишь точки в диапазоне одного шага . Поэтому при реализации таких схем для вычисления следующего значения требуется знать только одно предыдущее значение . Такие схемы называют одношаговыми. Мы, однако, видели, что для повышения точности при переходе от узла к узлу приходилось использовать и значения функции внутри интервала . Схемы, в которых это используется (методы 6.2.4, 6.2.5), называют схемами с дробными шагами. В этих схемах повышение точности достигается за счет дополнительных затрат на вычисление функции в промежуточных точках интервала .

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать уже вычисленные на предыдущих шагах значения в нескольких предыдущих узлах.

Заменим в (6.4) подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона вида

(6.11)

После интегрирования на интервале получим явную экстраполяционную схему Адамса. (Экстраполяцией называется получение значений интерполяционного многочлена в точках, выходящих за крайние узлы сетки). В нашем случае интегрирование производится на интервале , а полином строится по узлам . Порядок аппроксимации схемы в этом случае определяется количеством использованных при построении полинома узлов (например, если используются два узла то схема второго порядка).

Если в (6.4) подынтегральную функцию заменим многочленом Ньютона вида

(6.12)

то после интегрирования получим неявную интерполяционную схему Адамса. Заметим, что неявная интерполяционная схема Адамса второго порядка совпадает с ранее рассмотренной неявной схемой второго порядка.