7.8. Методы условной минимизации функций

7.8.1. Метод штрафных функций

Если допустимое множество решений задачи (6.1) задано в виде:

X={x  R_n | g_j(x)  0 , j=1, 2, …, k; h_j(x)=0 , j=1, 2, …, m }

{ примечание: неравенство вида b(x)0 всегда можно свести к неравенству вида g(x)0 заменой - b(x)0 }, то исходную задачу минимизации с ограничениями (как в форме неравенств, так и в форме равенств) можно свести к последовательности задач без ограничений, для решения которых используются методы безусловной минимизации функций. Для этого вводят функцию Ф(х), определенную и непрерывную на R_n таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Ф(х)=0 для всех х  Х.

2. Ф(х) > 0 для всех х вне допустимой области Х.

Образно говоря, функция Ф(х) назначает положительный штраф за выход за пределы допустимой области Х. Указанными свойствами обладает, например, функция вида:

Ф(х)= ,

где p–произвольное натуральное число или функция:

где  _j > 0,  _j > 0 – весовые функции штрафа, которые в простейшем случае могут быть константами. После чего от задачи

min f(x)

x  X

переходим к задаче:

min F(x), где F(x)=f(x)+r(x), r > 0 – весовой коэффициент.

x  R_n

Выбор весовых коэффициентов r, _j, _j весьма важен с вычислительной точки зрения. При больших значениях весовых коэффициентов при нарушении ограничений целевая функция F(x) приобретает ярко выраженный «овражный» характер, что затрудняет процесс минимизации. В общем случае весьма важен разумный выбор начальной точки с тем, чтобы она находилась в допустимой области. На практике проводят несколько циклов минимизации при последовательно изменяющихся значениях весового коэффициента r (например, r_k=k или r_k=10k, k=1,2,…).

7.8.2. Метод барьерных функций

Этот метод предназначен для решения задачи минимизации функций с ограничениями в форме неравенств:

min f(x), X={x  R_n | g_j(x) < 0 , j =1, 2, …, m}

x  X

На множестве Х определяют функцию В(х), которая называется барьерной функцией. Барьерные функции могут быть двух типов:

Очевидное свойство барьерных функций: В(х)  0 для всех х  Х.

Составим функцию F_k(x)=(x)+r_kB(x), k=1, 2,…, где {r_k} – монотонно убывающая, сходящаяся к нулю последовательность положительных чисел (указанными свойствами обладает, например, последовательность r_k=1/k или r_k=10/k, k=1, 2, …) и проведем цикл последовательных минимизаций при к=1, 2, 3, …

Для иллюстрации описанного метода рассмотрим следующий простейший пример:

xmin X={x  R | x  0},

x  X

Здесь n=1, m=1, (x)=x, g(x)=-x, X₁={x | x > 0}, X₂={0}. Очевидно, решением этой задачи служит граничная точка x_min=0. В качестве барьерной функции возьмем, например, B(x)=1/x при x > 0 и положим r_k=1/k, k=1, 2, … В этом случае функция F_k принимает вид F_k(x)=x+1/(kx). Нетрудно найти ее точку минимума x^(k) =1/ на множестве положительных чисел. Имеем . На рис. 7.5 дана геометрическая иллюстрация к процессу решения примера при k = 1, 2, 3.

Рис 7.5. Процесс решения

При увеличении k и приближении точки x^(k) к границе допустимого множества линия графика функции F_k (x) становится все более крутой, как бы воздвигая «барьер» и не давая возможности точке x^(k) выйти за пределы допустимого множества. Недостатком метода, затрудняющим непосредственное применение алгоритмов безусловной минимизации F_k(x) для определения точек x^(k), является ярко выраженная «овражная» структура барьерной функции при малых значениях r_k. Кроме того, напомним, что метод неприменим к задачам, в которых среди ограничений имеется хотя бы одно равенство.