2.5.3. Итерационный метод

Часто в практических вычислениях нужны не все собственные значения, а лишь некоторые из них. Для решения частичной проблемы собственных значений, состоящей в определении одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов, обычно используются итерационные методы. Строится итерационный процесс, который сходится к одному собственному значению и собственному вектору. Итерационный процесс строится на основе системы уравнений (2.16)

^{( k )} x^{( k )} = Ax^{( k – 1 )}, k=1, 2, ... (2.19)

Если наибольшее по модулю собственное значение  – простое, то, начиная с произвольного начального вектора x⁽⁰⁾, вычисляют последовательность x⁽¹⁾, x⁽²⁾, x⁽³⁾,.... При возрастании k векторы x^(k) будут приближаться к собственному вектору, принадлежащему доминирующему собственному значению . При этом на каждой итерации ^(k) вычисляется из условия, чтобы наибольшая по модулю координата вектора x^(k) равнялась единице. Итерационный процесс завершается при выполнении условия |(^(k) - ^(k-1))/^(k)| < , где – заданная относительная погрешность вычисления собственного значения. Скорость сходимости итерационного процесса зависит от удачного выбора начального приближения. Если начальный вектор x⁽⁰⁾ близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся быстро. Если нужно искать не наибольшее, а наименьшее собственное значение матрицы А, то умножая левую и правую части уравнения (2.16) на A^-1 получаем уравнение вида x/=A^-1 x. В этом случае итерационный процесс строится по формуле x^(k)/^(k) =A^-1 x^{(k – 1)}, Эта задача отличается от ранее рассмотренной (2.19) тем, что здесь будет вычисляться наибольшее собственное значение 1/, что будет достигнуто при наименьшем значении  (собственные значения матриц A и A^-1 обратны друг другу).

Контрольные вопросы

1. Что понимается под корректностью СЛАУ?

2. Решите по методу Гаусса систему из трех уравнений.

3. В чем суть метода квадратного корня?

4. Когда используются методы прогонки и квадратного корня?

5. Решите систему трех уравнений методом простой итерации и методом Зейделя.

6. Для чего нужна релаксация? Ее суть

7. Дать определение собственных значений матрицы

8. Что такое собственные векторы матрицы?

9. В чем суть интерполяционного метода нахождения собственных значений матрицы?

10. В чем суть итерационного метода нахождения собственных значений матрицы?

11. В чем суть метода вращний Якоби?

Тема 3. Аппроксимация функций

3.1. Зачем нужна аппроксимация функций?

Одной из наиболее часто встречающихся задач является установление характера зависимости между различными величинами, что позволяет по значению одной величины определить значение другой. Математической моделью зависимости одной величины от другой является понятие функции y=f(x). В практике расчетов, связанных с обработкой экспериментальных данных, вычислением функций f(x), разработкой вычислительных методов встречаются следующие две ситуации:

1. Как установить вид функции y=f(x), если она неизвестна? Предполагается при этом, что задана таблица значений функции , которая получена либо из экспериментальных измерений, либо из сложных расчетов.

2. Как упростить вычисление известной функции f(x) или же ее характеристик , если функция f(x) слишком сложная?

Ответы на эти вопросы даются теорией аппроксимации функций, основная задача которой состоит в нахождении функции y=(x), близкой (т. е. аппроксимирующей) в некотором нормированном пространстве к исходной функции y=f(x). Функцию (x) при этом выбирают такой, чтобы она была максимально удобной для последующих расчетов.

Основной подход к решению этой задачи заключается в том, что (x) выбирается зависящей от нескольких свободных параметров , т. е. , значения которых подбираются из условия близости f(x) и (x). Обоснование способов нахождения удачного вида функциональной зависимости и подбора параметров составляет задачу теории аппроксимации функций. В зависимости от способа подбора параметров получают различные методы аппроксимации, среди которых наибольшее распространение получили интерполяция и среднеквадратичное приближение, частным случаем которого является метод наименьших квадратов. Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров , т. е. в виде обобщенного многочлена:

, (3.1)

где – известная система линейно независимых (базисных) функций. В качестве в принципе могут быть выбраны любые элементарные функции: например тригонометрические, экспоненты, логарифмические или комбинации таких функций. Важно, чтобы система базисных функций была полной, т. е. обеспечивающей аппроксимацию f(x) многочленом (3.1) с заданной точностью при n.

Приведем хорошо известные и часто используемые системы. При интерполяции обычно используется система линейно независимых функций Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать ортогональные на интервале [-1, 1] многочлены Лежандра:

;

.

Заметим, что если функция задана на отрезке [a, b], то при использовании этой системы необходимо предварительно осуществить преобразование координат , приводящее интервал к интервалу . Для аппроксимации периодических функций используют ортогональную на [a,b] систему тригонометрических функций . В этом случае обобщенный многочлен (3.1) записывается в виде: .