7.2.3. Метод Фибоначчи

На практике количество вычислений значений функции часто бывает ограничено некоторым числом n (тем самым ограничено и число шагов вычислений по методу золотого сечения; оно не превышает n-1). Метод Фибоначчи отличается от метода золотого сечения лишь выбором первых двух симметричных точек и формул их пересчета и гарантирует более точное приближение к точке x_min за n-1 шаг, чем метод золотого сечения за то же количество шагов. Согласно методу Фибоначчи, на нулевом шаге первые две симметричные точки вычисляют по формулам:

x₁⁰=a₀+F_n(b₀–a₀)/F_{n + 2},

x₂⁰=b₀-F_n (b₀ -a₀)/F_{n + 2}=a₀+F_n+1(b₀–a₀)/F_{n + 2},

где F_n , F_n+1, F_n+2 – числа Фибоначчи, определяемые рекуррентной формулой

F₁=F₂=1, F_k =F_k-1+F_k–2 , k=3, 4, ...

Запишем первые десять чисел Фибоначчи:

F₁=1, F₂=1, F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₆=8, F₇=13, F₈=21, F₉=34, F₁₀=55.

В последующем, после сокращения интервала путем отбрасывания неблагоприятной крайней точки, одна из точек пересчитывается по одной из соответствующих формул

x₁^k=a_k+F_n-k(b₀–a₀)/F_n+2,

x₂^k=a_k+F_n-k+1(b₀–a₀)/F_n+2,

Выполняется n-1 шаг, при k = 1, 2, ..., n – 1. На последнем шаге две симметричные точки сливаются в одну, которая и принимается за точку минимума x_min =x₁^n-1. Погрешность вычисления точки минимума не превышает

(b₀–a₀)/(2F_n+2), т. е. за три вычисления функции (n=2) получают точку минимума с погрешностью, не превышающей 1/6 первоначального интервала, пять вычислений (n=4) – 1/16, девять (n=8) – 1/110.

Так как то при достаточно больших n вычисления по методу Фибоначчи и золотого сечения начинаются практически из одной и той же пары симметричных точек.

Алгоритм метода.

1. Задаются a, b и число n.

2. Вычисляются d=( b-a )/F_n+2 и две симметричные точки:

x₁=a+F_nd, x₂=b-F_nd, f₁=f(x₁), f₂=f(x₂).

3. Если f₁ > f₂ , то a=x₁, x₁=x₂, f₁=f₂, x₂ = a+ F_{n– k+1} d, f₂ = f (x₂),

иначе b=x₂, x₂= x₁, f₂= f₁, x₁ = a+ F_{n– k} d, f₁ = f (x₁).

4. Пункты 2 – 3 повторяется n-1 раз, при k=1, 2, ..., n-1.

5. Вычисляется .

7.2.4. Метод последовательного перебора

Этот метод не требует предварительного определения местоположения точки минимума. Идея метода состоит в том, что, спускаясь из точки x₀ с заданным шагом h в направлении уменьшения функции, устанавливают интервал длиной 2h, на котором находится минимум, который затем последовательно уточняют, повторяя спуск с последней точки, уменьшив шаг и изменив его знак, пока не будет достигнута заданная точность (некое подобие затухающего маятника).

Алгоритм метода.

Задаются , начальный шаг h, (h>0) и погрешность .

1. Вычисляем

2. Определяем направление убывания функции.

Если то

3. Из точки делается шаг и вычисляется .

4. Если , то и повторить с п. 3.

5. В точке функция оказалась большей, чем в , следовательно, мы перешагнули точку минимума. Организуем спуск в обратном направлении с меньшим шагом, например, или

6. Если , то повторить с п. 3.

7.

Скорость сходимости данного метода существенно зависит от удачного выбора начального приближения x₀ и шага h. Шаг h следует выбирать как половину оценки расстояния от x₀ до предполагаемого минимума x_min.