- •Тема 1. Математические модели и численные методы 17
- •Тема 2. Задачи линейной алгебры 23
- •Тема 7. Методы оптимизации 59
- •Общие сведения Сведения об эумк
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Рабочая учебная программа
- •Пояснительная записка Цель преподавания дисциплины
- •Задачи изучения дисциплины
- •1. Содержание дисциплины
- •2. Индивидуальные практические работы, их характеристика
- •3. Контрольные работы, их характеристика
- •Литература
- •4.1. Основная
- •4.2. Дополнительная
- •5. Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов и технических средств обучения
- •Протокол согласования учЕбной программы по изучаемой учебной дисциплине с другими дисциплинами специальности
- •1.2. Как исследуются физические явления и решаются задачи
- •1.3. Погрешность вычислений
- •1.4. Источники возникновения погрешности расчетов
- •1.5. Итерационные методы решения задач
- •Тема 2. Задачи линейной алгебры
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Прямые методы решения слау
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод прогонки
- •2.2.3. Метод квадратного корня
- •2.3. Итерационные методы решения слау
- •2.3.1. Метод простой итерации
- •2.3.2. Метод Зейделя
- •2.3.3. Понятие релаксации
- •2.4. Нахождение обратных матриц
- •2.5. Собственные значения и собственные векторы матриц
- •2.5.1. Интерполяционный метод
- •2.5.2. Метод вращений Якоби
- •2.5.3. Итерационный метод
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Аппроксимация функций
- •3.1. Зачем нужна аппроксимация функций?
- •3.2. Интерполяция
- •3.3. Многочлены и способы интерполяции
- •3.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •3.3.2. Линейная и квадратичная интерполяции
- •3.3.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •3.3.4. Интерполяция общего вида
- •3.4. Среднеквадратичная аппроксимация
- •3.4.1. Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •Тема 4. Вычисление производных и интегралов
- •4.1. Формулы численного дифференцирования
- •4.2. Формулы численного интегрирования
- •4.2.1. Формула средних
- •4.2.2. Формула трапеций
- •4.2.3. Формула Симпсона
- •4.2.4. Формулы Гаусса
- •Контрольные вопросы
- •Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •5.1. Как решаются нелинейные уравнения
- •5.2. Итерационные методы уточнения корней
- •5.2.1. Метод простой итерации
- •5.2.2. Метод Ньютона
- •5.2.3. Метод секущих
- •5.2.4. Метод Вегстейна
- •5.2.5. Метод парабол
- •5.2.6. Метод деления отрезка пополам
- •Контрольные вопросы
- •Тема 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.1. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.2. Основные положения метода сеток для решения задачи Коши
- •6.2.1. Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера)
- •6.2.2. Неявная схема 1-го порядка
- •6.2.3. Неявная схема 2-го порядка
- •6.2.4. Схема Рунге – Кутта 2-го порядка
- •6.2.5. Схема Рунге – Кутта 4-го порядка
- •6.3. Многошаговые схемы Адамса
- •6.3.1. Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка
- •6.3.2. Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка
- •6.3.3. Неявная схема Адамса 3-го порядка
- •6.4. Краевая (граничная) задача
- •6.5. Численные методы решения краевых задач
- •6.5.1. Метод стрельбы
- •6.5.2. Метод конечных разностей
- •Контрольные вопросы
- •Методы оптимизации многопараметрических функций Тема 7. Методы оптимизации
- •7.1. Постановка задач оптимизации, их классификация
- •7.2. Методы нахождения минимума функции одной переменной
- •7.2.1. Метод деления отрезка пополам
- •7.2.2. Метод золотого сечения
- •7.2.3. Метод Фибоначчи
- •7.2.4. Метод последовательного перебора
- •7.2.5. Метод квадратичной параболы
- •7.2.6. Метод кубической параболы
- •7.3. Методы нахождения безусловного минимума функции нескольких переменных
- •7.3.1. Классификация методов
- •7.4. Методы нулевого порядка
- •7.4.1. Метод покоординатного спуска
- •7.4.2. Метод Хука – Дживса
- •7.4.3. Метод Нелдера – Мида
- •7.5. Методы первого порядка
- •7.5.1. Метод наискорейшего спуска
- •7.5.2. Метод сопряженных градиентов Флетчера – Ривса
- •7.6. Методы второго порядка
- •7.6.1. Обобщенный метод Ньютона – Рафсона
- •7.7. Методы переменной метрики
- •7.7.1. Метод Дэвидона – Флэтчера – Пауэлла
- •7.8. Методы условной минимизации функций
- •7.8.1. Метод штрафных функций
- •7.8.2. Метод барьерных функций
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Практический раздел Контрольные работы
- •Контрольная работа №1
- •Тема 1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение обратных матриц
- •Тема 2. Аппроксимация функций
- •Тема 3. Вычисление производных и определенных интегралов
- •Тема 4. Собственные значения и собственные векторы
- •Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений
- •Тема 6. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №2
- •Тема 7. Методы нахождения безусловного минимума
- •Тема 8. Методы нахождения условного минимума
Общие сведения Сведения об эумк
Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине «Вычислительные методы и методы оптимизации в экономике» предназначен для студентов специальности «Информационные системы и технологии», а также может быть использован преподавателями, аспирантами и практическими работниками предприятий.
Электронный учебно-методический комплекс составлен на основе рабочей учебной программы по курсу «Вычислительные методы и методы оптимизации в экономике», утвержденной ректором БГУИР 23.01.2009, регистрационный № УД-40-077/уч. и учебного плана специальности 1-40 01 02-02 Информационные системы и технологии (в экономике).
Составитель:
В.П. Шестакович, старший преподаватель кафедры «Вычислительные методы и программирование» Учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники».
Рассмотрен и рекомендован к изданию на заседании кафедры «Вычислительные методы и программирование», протокол № 16 от 23.05.2011.
Одобрен и рекомендован к изданию методической комиссией факультета информационных технологий и управления, протокол № 10 от 13.06.2011.
Методические рекомендации по изучению дисциплины
Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических дисциплин. Сегодня на первый план выступает математическая модель как инструмент исследования и прогноза экономических явлений. Историческая цепочка развития математики «явления окружающего мира – математические построения и абстракции – использование в объяснении явлений окружающего мира» отразилась в развитии математических моделей. Математическую модель можно определить как внутренне непротиворечивую замкнутую систему математических соотношений (объект конечной сложности), предназначенную для воспроизведения определенного качества (или группы определенных качеств) изучаемого реального явления или процесса. Математические модели представляют собой основу компьютерного моделирования и обработки информации. Они способствуют развитию наших представлений о закономерностях экономических процессов и безусловно обозначают новый образ мышления и анализа. В этом смысле математическая модель – это абстракция на определенном уровне реального процесса из окружающего нас мира. Как образ мышления, математические модели могут эволюционировать и совершенствоваться. Характерным свойством математических моделей является их общность или безотносительность к реальным явлениям: одна и та же модель может , например, описывать процессы прироста народонаселения и радиоактивного распада. Более того, наши представления о процессах, которые мы не сможет увидеть или измерить, например, ядерные реакции в недрах звезд или распад оледенений Земли в далеком прошлом, во многом основаны на соответствующих математических моделях. Активно использовать математический аппарат возможно только овладев необходимыми знаниями из области математики.
Целью изучения курса «Вычислительные методы и методы оптимизации в экономике» является освоение основных алгоритмов вычислительной математики и задач оптимизации в экономике, изучение современных методов их решения, получение практических навыков алгоритмизации и программирования, подготовка студентов к использованию современных компьютеров и базовых технологий в качестве инструмента для решения практических задач в своей предметной области.
Подготовка современного специалиста по экономическим специальностям требует уверенного владения возможностями, предоставляемыми компьютерными технологиями. Решение сложных экономических задач приводит к необходимости моделирования и оптимизации на ЭВМ таких задач. В настоящем курсе наряду с основными методами численного анализа изучаются современные методы условной и безусловной оптимизации функций многих переменных. В результате изучения дисциплины «Вычислительные методы и методы оптимизации в экономике» студенты должны освоить наиболее эффективные и часто используемые на практике численные методы используемы е при решении экономических задач, уметь выполнять алгоритмизацию и программирование методов решения экономических задач; приобрести навыки уверенной работы на персональном компьютере при решении экономических задач, научиться использовать имеющееся программное обеспечение. Материалы данного курса тесно связаны и используются в дисциплинах «Исследование операций в экономике», «Экономико-математические методы и модели», «Высшая математика». Изучение всех этих дисциплин, позволят будущему специалисту сформировать компоненты мышления: уровень, кругозор и культуру, которые понадобятся ему для успешной работы и ориентации в будущей профессиональной деятельности.
Материал дисциплины следует изучать по темам в порядке, установленном в курсе лекций по данной дисциплине. При этом рекомендуется руководствоваться следующей методикой: вначале прорабатывается теоретический материал по курсу лекций, уделяется основное внимание сущности изучаемого вопроса и методике вывода искомых математических выражений. Не рекомендуется приступать к изучению новой темы до полного усвоения всех предыдущих тем. Контроль качества изучения материала по данной теме следует осуществлять путем ответов на контрольные вопросы, помещенные в конце каждой темы. При затруднениях в ответах необходимо повторно проработать соответствующий материал. После полной проработки темы следует приступать к решению соответствующих заданий контрольных работ.
Следует отметить специфику данного курса. Индивидуальные практические занятия в рамках данного курса заключаются в разработке алгоритма соответствующего метода решения задачи и последующей его реализации в операторах того или иного языка программирования с последующим набором, отладкой и тестированием составленной программы на компьютере. Тестирование по каждой теме производится путем просчета на компьютере тестового задания, приводимого в практическом разделе, либо заданного самим студентом. Результаты индивидуальных практических занятий включаются в контрольную работу №1 (темы 1,5).
Учебным планом по данному курсу предусмотрено изучение теоретических вопросов, практические задачи по наиболее актуальным темам, выполнение 2-х контрольных работ. Изучение курса заканчивается сдачей зачета. К сдаче зачета студенты допускаются только при условии выполненных и защищенных контрольных работ.
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Декан ФНиДО ______В. М. Бондарик
__________________
21 . 06. 2011 г.
Региcтрационный № УД-11-23-128 /р.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И МЕТОДЫ ОПТИМИАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ