5.2. Итерационные методы уточнения корней

5.2.1. Метод простой итерации

Очень часто в практике вычислений встречается ситуация, когда уравнение (5.1) записано в виде разрешенном, относительно x:

(5.2)

Заметим, что переход от записи уравнения (5.1) к эквивалентной записи (5.2) можно сделать многими способами, например, положив

φ(x)=x+ψ(x)f(x), (5.3)

где ψ(x) – произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция (часто достаточно выбрать ψ(x)=cons). В этом случае корни уравнения (5.2) являются также корнями (5.1), и наоборот. Исходя из записи (5.2) члены рекуррентной последовательности в методе простой итерации вычисляются по закону

. (5.4)

Метод является одношаговым, и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение x₀=a или x₀=b или x₀=(a+b)/2.

Условием сходимости метода простой итерации, если дифференцируема, является выполнение неравенства |φ'(ξ)| < 1 для любого

ξ [a, b], x^* [a, b]. (5.5)

Максимальный интервал [a, b], для которого выполняется неравенство (5.5), называется областью сходимости. При выполнении условия (5.5) метод сходится, если начальное приближение x₀ выбрано из области сходимости. При этом скорость сходимости погрешности к нулю вблизи корня приблизительно такая же, как у геометрической прогрессии со знаменателем q |φ'(x^*)|, т. е. чем меньше q, тем быстрее сходимость, и наоборот. Поэтому при переходе от (5.1) к (5.2) функцию ψ(x) в (5.3) выбирают так, чтобы выполнялось условие сходимости (5.5) для как можно большей области [a, b] и с наименьшим q. Удачный выбор этих условий гарантирует эффективность расчетов. Часто положительные результаты дает применение релаксации.

5.2.2. Метод Ньютона

Этот метод является модификацией метода простой итерации и часто называется методом касательных. Если f(x) имеет непрерывную производную, тогда, выбрав в (5.3) ψ(x)=-1/f'(x), получаем эквивалентное уравнение x=x–f(x)/f'(x)=φ(x), в котором q |φ'(x^*)|≈0. Поэтому скорость сходимости рекуррентной последовательности метода Ньютона

(5.6)

вблизи корня очень большая, погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего . Из (5.6) видно, что этот метод одношаговый (m=1) и для начала вычислений требуется задать одно начальное приближение x₀ из области сходимости, определяемой неравенством | f(x)f''(x) |<[f'(x)]². Метод Ньютона получил также второе название метод касательных благодаря геометрической иллюстрации его сходимости, представленной на рис. 5.2. Этот метод позволяет находить как простые, так и кратные корни. Основной его недостаток – малая область сходимости и необходимость вычисления производной f'(x).

5.2.3. Метод секущих

Данный метод является модификацией метода Ньютона, позволяющей избавиться от явного вычисления производной путем ее замены приближенной формулой (4.2). Это эквивалентно тому, что вместо касательной на рис. 5.2 проводится секущая. Тогда вместо процесса (5.6) получаем

(5.7)

где h – некоторый малый параметр метода, который подбирается из условия наиболее точного вычисления производной. Метод одношаговый (m=1), и его условие сходимости при правильном выборе h такое же, как у метода Ньютона.