Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача Коши для системы из n уравнений?

2. В чем суть метода сеток?

3. Что такое конечно-разностная схема, погрешность аппроксимации, устойчивость?

4. Сформулируйте содержание основной теоремы метода сеток.

5. Назовите известные вам схемы решения дифференциального уравнения.

6. В чем отличие методов Адамса от методов Рунге-Кутта?

Методы оптимизации многопараметрических функций Тема 7. Методы оптимизации

7.1. Постановка задач оптимизации, их классификация

Трудно назвать область деятельности, где не возникали бы задачи оптимизационного характера. Это, например, задачи определения наиболее эффективного режима работы различных систем, задачи организации производства, дающего наибольшую прибыль при заданных ограниченных ресурсах или ограничении на количество товара, которое может поглотить рынок и т. д. Постановка каждой задачи оптимизации включает в себя моделирование рассматриваемой ситуации с целью получения математической функции, которую необходимо минимизировать, а также определения ограничений, если таковые существуют и выбора подходящей процедуры для осуществления минимизации функции. Задача оптимизации заключается в выборе среди элементов множества Х (множества допустимых решений) такого решения, которое было бы с определенной точки зрения наиболее предпочтительным. В дальнейшем понятие решения отождествляется с вектором (точкой) n-мерного евклидова пространства . В соответствии с этим допустимое множество Х представляет собой некоторое подмножество пространства , т. е. , а целевая функция (а также критерий качества или критерий оптимальности) – это функция n переменных Сравнение решений по предпочтительности осуществляется с помощью целевой функции , которую формулируют таким образом, чтобы наиболее предпочтительному решению соответствовал минимум целевой функции:

(7.1)

При этом решение называют оптимальным (точнее говоря, минимальным) , а значение – оптимумом ( минимумом).

Существует два вида минимумов : локальный и глобальный. Говорят, что точка доставляет функции на множестве Х локальный минимум, если существует такая окрестность точки , что неравенство справедливо для всех Глобальный минимум функции доставляет точка для которой записанное выше неравенство выполняется при всех Если множество допустимых значений , то говорят о задаче минимизации без ограничений. В этом случае нужно найти такую точку , чтобы неравенство выполнялось для всех точек пространства без ограничения. Задачу минимизации без ограничений называют также задачей безусловной минимизации. При этом для характеристики точки минимума и самого минимума добавляют прилагательное «безусловный». Если , то имеет место задача минимизации с ограничениями. В этом случае также говорят о задаче условной минимизации, о точках условного минимума и об условном минимуме. Если допустимое множество Х задано в виде

(7.2)

где все функции определены на , то говорят о задаче математического программирования. Среди задач этого класса различают задачи с ограничениями типа неравенств – когда множество Х имеет вид (7.2) и m = k; задачи с ограничениями типа равенств – когда в (7.2) неравенства отсутствуют (k = 0), и задачи со смешанными ограничениями – когда в задании множества Х встречаются как равенства, так и неравенства. Следует отметить, что ограничение типа равенства всегда можно заменить двумя ограничениями типа неравенства С другой стороны, ограничение-неравенство всегда можно заменить эквивалентным ему ограничением-равенством, введя дополнительную переменную