3.2. Интерполяция

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f(x) и (x) должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов) (обозначим ), число которых равно количеству искомых параметров . Параметры подбирают такими, чтобы функция совпадала с f(x) в этих узлах, (см. рис. 3.1), для чего решают полученную систему n алгебраических, в общем случае нелинейных, уравнений. В случае линейной аппроксимации (3.1) система для нахождения коэффициентов линейна и имеет следующий вид:

(3.2)

Система базисных функций , используемых для интерполяции, должна быть чебышевской, т. е. такой, чтобы определитель матрицы системы (3.2) был отличен от нуля и, следовательно, задача интерполяции имела единственное решение. Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обрабатываются.

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен (n-1)-й степени, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках. Общий вид алгебраического многочлена

. (3.3)

Матрица системы (3.2) в этом случае имеет вид

(3.4)

и ее определитель отличен от нуля, если точки x_i разные. Поэтому задача (3.2) имеет единственное решение, т. е. для заданной системы различных точек существует единственный интерполяционный многочлен.

Погрешность аппроксимации функции f(x) интерполяционным многочленом (n-1)-й степени, построенным по n точкам, можно оценить, если известна ее производная порядка n, по формуле

(3.5)

Из (3.5) следует, что при h0 порядок погрешности p при интерполяции алгебраическим многочленом равен количеству выбранных узлов p=n. Величина  может быть сделана малой как за счет увеличения n, так и уменьшения h. В практических расчетах используют, как правило, многочлены невысокого порядка (n  6), в связи с тем, что с ростом n резко возрастает погрешность вычисления самого многочлена из-за погрешностей округления.

3.3. Многочлены и способы интерполяции

Один и тот же многочлен можно записать по-разному, например . Поэтому в зависимости от решаемых задач применяют различные виды представления интерполяционного многочлена и способы интерполяции. Наряду с общим представлением (3.3) наиболее часто в приложениях используют интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Их особенность в том, что не надо находить параметры , так как многочлены в этой форме прямо записаны через значения таблицы

3.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона

Аппроксимация в виде (3.1), дополненная системой (3.2) называется аппроксимацией общего вида. Недостатком такого вида аппроксимации является необходимость решения системы линейных алгебраических уравнений (3.2) для определения коэффициентов . Ньютоном была предложена форма записи многочлена (3.3) в виде, не требующем решения системы линейных алгебраических уравнений

(3.6)

где – текущая точка, в которой надо вычислить значение многочлена, – разделенные разности порядка k, которые вычисляются по следующим рекуррентным формулам: