5.2.4. Метод Вегстейна

Этот метод является модификацией предыдущего метода секущих. В нем предлагается при расчете приближенного значения производной по разностной формуле использовать вместо точки в (5.7) точку , полученную на предыдущей итерации. Расчетная формула метода Вегстейна:

(5.8)

Метод является двухшаговым (m=2), и для начала вычислений требуется задать два начальных приближения . Лучше всего . Метод Вегстейна сходится медленнее метода секущих, однако, требует в два раза меньшего числа вычислений f(x) и за счет этого оказывается более эффективным.

5.2.5. Метод парабол

Предыдущие три метода (Ньютона, секущих, Вегстейна) фактически основаны на том, что исходная функция f(x) аппроксимируется линейной зависимостью вблизи корня и в качестве следующего приближения выбирается точка пересечения аппроксимирующей прямой с осью абсцисс. Ясно, что аппроксимация будет лучше, если вместо линейной аппроксимации использовать квадратичную аппроксимацию. На этом и основан один из самых эффективных методов – метод парабол. Суть его в следующем: в окрестности корня задаются три начальные точки , в этих точках рассчитываются три значения функции и строится интерполяционный многочлен второго порядка, который удобно записать в форме

. (5.9)

Коэффициенты этого многочлена вычисляются по формулам:

z=x-x₂; z₀=x₀-x₂; z₁=x₁-x₂; c=f₂;

(5.10)

Полином (5.9) имеет два корня:

из которых выбирается наименьший по модулю z_m и рассчитывается следующая точка Если выполняется условие то за значение корня принимается x_m, в противном случае одна из крайних точек заменяется на точку x_m: если x_m < x₁ то x₂=x₁, f₂=f₁, x₁=x_m, f₁=f(x_m), иначе x₀=x₁, f₀=f₁, x₁=x_m, f₁=f(x_m) и процесс повторяется.

5.2.6. Метод деления отрезка пополам

Все вышеописанные методы могут работать, если функция f(x) является непрерывной и дифференцируемой вблизи искомого корня. В противном случае они не гарантируют получение решения. Для разрывных функций, а также. если не требуется быстрая сходимость, для нахождения простого корня на интервале [a, b] применяют надежный метод деления отрезка пополам. Его алгоритм основан на построении рекуррентной последовательности по следующему закону: в качестве начального приближения выбираются границы интервала, на котором имеется один простой корень далее находится середина интервала после чего отбрасывается половинка интервала, не содержащая корня. Очередная точка x выбирается как середина нового, в два раза меньшего, интервала.

Алгоритм метода.

1. Вычисляем .

2. Вычисляем .

3. Если то иначе

4. Если то повторить с п. 2.

5. Вычисляем корень

За одно вычисление функции интервал уменьшается вдвое, то есть скорость сходимости невелика, однако метод устойчив к ошибкам округления и всегда сходится.

Контрольные вопросы

1. Как решается задача нахождения корней?

2. Какие виды корней существуют у нелинейных уравнений?

3. В чем суть метода простой итерации и его условие сходимости?

4. Дайте геометрическую интерпретацию метода Ньютона.

5. В чем отличие метода Вегстейна от метода секущих?

6. Дайте геометрическую интерпретацию метода парабол.