2.3. Итерационные методы решения слау

2.3.1. Метод простой итерации

В соответствии с общей идеей итерационных методов исходная система (2.1) должна быть приведена к виду, разрешенному относительно :

(2.12)

где G – матрица; – столбец свободных членов. При этом решение (2.12) должно совпадать с решением (2.1). Затем строится рекуррентная последовательность первого порядка в виде

В начале вычислений задается некоторое начальное приближение (например, , для окончания – некоторое малое . Получаемая последовательность будет сходиться к точному решению, если норма матрицы . Привести исходную систему к виду (2.12) можно различными способами, например,

где E – единичная матрица; α – некоторый параметр, подбирая который, можно добиться, чтобы В частном случае, если исходная матрица A имеет преобладающую главную диагональ, т. е. , то преобразование (2.1) к (2.12) можно осуществить просто, решая каждое i-е уравнение относительно . В результате получим следующую рекуррентную формулу:

. (2.13)

.

2.3.2. Метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации. Суть его состоит в том, что при вычислении очередного приближения в формуле (2.13) используются вместо ранее вычисленные т. е. (2.13) преобразуется к виду

(2.14)

Такое усовершенствование позволяет ускорить сходимость итераций почти в два раза. Кроме того, данный метод может быть реализован на компьютере без привлечения дополнительного массива, так как полученное новое сразу засылается на место старого. Схема алгоритма аналогична схеме метода простой итерации, если x⁰_j заменить на x_j и убрать строки x⁰_i=1, x⁰_i=x_i.

2.3.3. Понятие релаксации

Методы простой итерации и Зейделя сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Если норма матрицы G близка к 1, то сходимость очень медленная. Для ускорения сходимости используется метод релаксации. Суть его в том, что полученное по методу простой итерации или Зейделя очередное значение пересчитывается по формуле

(2.15)

где 0 <   2 – параметр релаксации. Если  < 1 – нижняя релаксация, если  >1–- верхняя релаксация. Параметр  подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций.

2.4. Нахождение обратных матриц

Матрица A^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если их произведение равно единичной матрице E

AA^-1=A^-1A=E

Если определитель матрицы A отличен от нуля (такие матрицы называются невырожденными или неособенными), то обратная матрица всегда существует. При этом detA^-1=1/detA. Обозначим искомую обратную матрицу n-го порядка X.

X=A^-1=

Равенство AX=E, служащее определением обратной матрицы X может быть использовано для нахождения элементов обратной матрицы. Мы имеем систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных элементов обратной матрицы, которую можно решить одним из методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Вся эта система распадается на n групп независимых уравнений с n неизвестными в каждой. Все они имеют одну и ту же матрицу коэффициентов A, отличаясь лишь свободными членами. Запишем равенство AX=E в виде

i=1,2,...,n ; k=1,2,...,n

т. е. в k-й группе независимых уравнений неизвестными являются элементы k-го столбца искомой обратной матрицы, а отличен от нуля и равен единице только свободный член k-го уравнения. Таким образом, для нахождения элементов матрицы n-го порядка необходимо n раз решить систему линейных алгебраических уравнений n-го порядка. Так как все они имеют одну и ту же матрицу коэффициентов A, то при использовании метода Гаусса процедура прямого хода (исключение неизвестных для приведения исходной системы к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей) проводится только один раз. При этом решение этих n систем можно объединить в одной схеме, рассматривая одновременно n столбцов свободных членов.