2.5. Собственные значения и собственные векторы матриц

Собственными значениями квадратной матрицы A называют числа , удовлетворяющие соотношению

Ax=x, где x=[x₁, x_2, …, x_n]^T – вектор – столбец. (2.16)

Это соотношение может быть представлено в виде (A-E)x=0, где E – единичная матрица. Матрица

D=A-E = ,

называется характеристической матрицей матрицы A.

Собственные значения матрицы A находят как корни характеристического уравнения

det D=0, (2.17)

которое является алгебраическим уравнением n-го порядка.

Вектор x={x₁, x₂, ... ,x_n}, соответствующий некоторому собственному значению  и удовлетворяющий системе уравнений (2.16) называется собственным вектором матрицы A.

2.5.1. Интерполяционный метод

В области расположения собственных значений  задается n+1 произвольное значение ₀, ₁, ..., _n. В каждой из выбранных точек _i вычисляется определитель f()=det D=det (A-E). По таблице _i, f(_i) строится интерполяционный полином P_n(), который в силу единственности будет характеристическим. Теперь для нахождения собственных значений  необходимо найти n корней алгебраического уравнения P_n()=0, что можно сделать одним из методов нахождения корней нелинейных уравнений. В этом случае метод не требует вычисления определителя на каждой итерации. Однако здесь задача усложнена тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные.

Отметим некоторые свойства собcтвенных значений для частных типов исходной матрицы.

1. Все собственные значения симметричной матрицы действительны.

2. Если собственные значения матрицы действительны и различны, то соответствующие им собственные векторы ортогональны и образуют базис рассматриваемого пространства. Следовательно, любой вектор в данном пространстве можно выразить через совокупность линейно независимых собственных векторов.

3. Если две матрицы A и B подобны, т. е. они связаны соотношением

B=P^-1AP (2.18)

то их собственные значения совпадают. Преобразование подобия (2.18) можно использовать для упрощения исходной матрицы, а задачу о вычислении ее собственных значений свести к аналогичной задаче для более простой матрицы. Очевидно, самым лучшим упрощением исходной матрицы A было бы приведение ее к треугольному виду. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, поэтому характеристический многочлен в этом случае имеет вид

(b₁₁ - ) (b₂₂ - ) ... (b_nn - )=0.

Таким образом, собственные значения треугольной матрицы равны ее диагональным элементам. То же самое относится и к диагональной матрице.

2.5.2. Метод вращений Якоби

Метод вращений Якоби применяется только для симметричных матриц A (A=A^T) и решает полную проблему собственных значений и собственных векторов таких матриц. Метод основан на приведении действительной симметричной матрицы A к диагональной D путем преобразования подобия D=T^-1AT, где T^-1 – обратная матрица, а поскольку для симметричных матриц A матрица преобразования подобия T является ортогональной (T^-1=T^T), то D=T^TAT, где T^T – транспонированная матрица. Диагональные элементы матрицы D будут собственными значениями исходной матрицы A, а столбцы матрицы T будут являться соответственно собственными векторами. Матрица T находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращения T=T₁T₂T₃ ... . Алгоритм метода следующий:

Для известной на s-й итерации матрицы A^(s) (A⁽⁰⁾=A) выбирается максимальный по модулю недиагональный элемент a_km^(s) матрицы A^(s) (a_km^(s)=max|a_ij^(s)|, i<j). Находится такая ортогональная матрица T^(s), чтобы в результате преобразования подобия A^(s+1)=T^(s)TA^(s)T^(s) произошло обнуление элемента a_km^(s+1) матрицы A^(s+1). В качестве ортогональной матрицы выбирается матрица вращения T^(s) представляющую собой единичную матрицу в которой элементы t_km^(s)=–sinφ^(s), t_mk^(s)=sinφ^(s), t_kk^(s)=cosφ^(s), t_mm^(s)=cosφ^(s), где угол вращения φ^(s) определяется из условия a_km^(s+1)=0:

φ^(s)=1/2*arctg(2a_km^(s)/(a_kk^(s)–a_mm^(s))), если a_kk^(s)≠a_mm^(s),

φ^(s)=π/4, если a_kk^(s)=a_mm^(s).

Затем вычисляется матрица A^(s+1)=T^(s)TA^(s)T^(s). Процесс продолжается до тех пор, пока все недиагональные элементы матрицы A не станут по модулю меньше заданной точности ε:|a_ij| < ε, i < j. Отметим, что на каждой итерации выполняется соотношение a²_kk^(s+1)+a²_mm^(s+1)=a²_kk^(s)+a²_mm^(s)+2a_km^(s), т. е. сумма квадратов диагональных элементов на каждой итерации увеличивается. Соответственно на эту же величину уменьшается и сумма квадратов недиагональных элементов, откуда и следует сходимость к диагональной матрице. Элементы, которые однажды обратились в нуль, при последующих итерациях могут стать ненулевыми.