10

Учреждение образования

Белорусский государственный университет информатики

и радиоэлектроники

Министерство образования Республики Беларусь

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Кафедра «Вычислительные методы и программирование»

Электронный учебно-методический комплекс

по дисциплине

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ

Для студентов специальности

1–40 01 02 «Информационные системы и технологии»

по направлению 1–40 01 02–02 «Информационные системы и технологии в экономике»

дистанционной формы обучения

Минск 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 5

Сведения об ЭУМК 5

Методические рекомендации по изучению дисциплины 5

Рабочая учебная программа 8

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 17

Лекции 17

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ 17

Тема 1. Математические модели и численные методы 17

1.1. Как использовать компьютер 17

1.2. Как исследуются физические явления и решаются задачи 18

1.3. Погрешность вычислений 18

1.4. Источники возникновения погрешности расчетов 20

1.5. Итерационные методы решения задач 22

Тема 2. Задачи линейной алгебры 23

2.1. Основные понятия и определения 23

2.2. Прямые методы решения СЛАУ 25

2.2.1. Метод Гаусса 25

2.2.2. Метод прогонки 26

2.2.3. Метод квадратного корня 27

2.3. Итерационные методы решения СЛАУ 28

2.3.1. Метод простой итерации 28

2.3.2. Метод Зейделя 29

2.3.3. Понятие релаксации 29

2.4. Нахождение обратных матриц 29

2.5. Собственные значения и собственные векторы матриц 30

2.5.1. Интерполяционный метод 30

2.5.2. Метод вращений Якоби 31

2.5.3. Итерационный метод 32

Тема 3. Аппроксимация функций 34

3.1. Зачем нужна аппроксимация функций? 34

3.2. Интерполяция 35

3.3. Многочлены и способы интерполяции 37

3.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона 37

3.3.2. Линейная и квадратичная интерполяции 37

3.3.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа 38

3.3.4. Интерполяция общего вида 38

3.4. Среднеквадратичная аппроксимация 38

3.4.1. Метод наименьших квадратов 39

Тема 4. Вычисление производных и интегралов 40

4.1. Формулы численного дифференцирования 40

4.2. Формулы численного интегрирования 41

4.2.1. Формула средних 42

4.2.2. Формула трапеций 42

4.2.3. Формула Симпсона 42

Рис. 4.3 42

4.2.4. Формулы Гаусса 43

Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений 44

5.1. Как решаются нелинейные уравнения 44

5.2. Итерационные методы уточнения корней 45

5.2.1. Метод простой итерации 45

5.2.2. Метод Ньютона 45

5.2.3. Метод секущих 46

5.2.4. Метод Вегстейна 46

5.2.5. Метод парабол 47

5.2.6. Метод деления отрезка пополам 47

Тема 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 49

6.1. Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений 49

6.2. Основные положения метода сеток для решения задачи Коши 50

6.2.1. Явная схема 1-го порядка (метод Эйлера) 51

6.2.2. Неявная схема 1-го порядка 51

6.2.3. Неявная схема 2-го порядка 52

6.2.4. Схема Рунге – Кутта 2-го порядка 52

6.2.5. Схема Рунге – Кутта 4-го порядка 52

6.3. Многошаговые схемы Адамса 53

6.3.1. Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка 54

6.3.2. Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка 54

6.3.3. Неявная схема Адамса 3-го порядка 54

6.4. Краевая (граничная) задача 55

6.5. Численные методы решения краевых задач 56

6.5.1. Метод стрельбы 56

6.5.2. Метод конечных разностей 57

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 59

Тема 7. Методы оптимизации 59

7.1. Постановка задач оптимизации, их классификация 59

7.2. Методы нахождения минимума функции одной переменной 60

7.2.1. Метод деления отрезка пополам 61

7.2.2. Метод золотого сечения 61

7.2.3. Метод Фибоначчи 62

7.2.4. Метод последовательного перебора 63

7.2.5. Метод квадратичной параболы 64

7.2.6. Метод кубической параболы 65

7.3. Методы нахождения безусловного минимума функции нескольких переменных 66

7.3.1. Классификация методов 66

7.4. Методы нулевого порядка 67

7.4.1. Метод покоординатного спуска 67

7.4.2. Метод Хука – Дживса 67

7.4.3. Метод Нелдера – Мида 68

7.5. Методы первого порядка 70

7.5.1. Метод наискорейшего спуска 70

7.5.2. Метод сопряженных градиентов Флетчера – Ривса 71

7.6. Методы второго порядка 72

7.6.1. Обобщенный метод Ньютона – Рафсона 72

7.7. Методы переменной метрики 72

7.7.1. Метод Дэвидона – Флэтчера – Пауэлла 72

7.8. Методы условной минимизации функций 73

7.8.1. Метод штрафных функций 73

7.8.2. Метод барьерных функций 74

ЛИТЕРАТУРА 76

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 77

Контрольные работы 77

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1 77

Тема 1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение обратных матриц 78

Тема 2. Аппроксимация функций 82

Тема 3. Вычисление производных и определенных интегралов 86

Тема 4. Собственные значения и собственные векторы 87

Тема 5. Методы решения нелинейных уравнений 89

Тема 6. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 90

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 97

Тема 7. Методы нахождения безусловного минимума 97

Тема 8. Методы нахождения условного минимума 99