Контрольные вопросы

1. Как ставится задача линейной аппроксимации функций?

2. Что такое интерполяция, ее геометрическая интерпретация?

3. Напишите интерполяционный многочлен Ньютона 2-го порядка.

4

Рис.3.3

. Напишите интерполяционный многочлен Лагранжа 2-го порядка.

5. Как осуществляется аппроксимация по методу наименьших квадратов и его геометрическая интерпретация?

Тема 4. Вычисление производных и интегралов

4.1. Формулы численного дифференцирования

Формулы для расчета производной в точке x получаются следующим образом. Берется несколько близких к x узлов (n  m+1), называемых шаблоном (точка x может быть одним из узлов). Вычисляются значения в узлах шаблона, строится интерполяционный многочлен Ньютона и после взятия производной от этого многочлена получается выражение приближенного значения производной (формула численного дифференцирования) через значения функции в узлах шаблона: . При n=m+1 формула численного дифференцирования не зависит от положения точки x внутри шаблона. Так как m-я производная от полинома m-й степени P_m(x) есть константа, такие формулы называют простейшими формулами численного дифференцирования. Анализ оценки погрешности вычисления производной

(4.1)

показывает, что погрешность минимальна для значения x в центре шаблона и возрастает на краях. Поэтому узлы шаблона, если это возможно, выбираются симметрично относительно x. Заметим, что порядок погрешности при h0 равен n-m  1, и для повышения точности можно либо увеличивать n, либо уменьшать h (последнее более предпочтительно). Приведем несколько важных формул, получаемых с использованием (3.7) для равномерного шаблона.

. (4.2)

Простейшая формула (4.2) имеет второй порядок погрешности в центре интервала и первый по краям.

(4.3)

Эта формула имеет второй порядок погрешности во всем интервале и часто используется для вычисления производной в крайних точках таблицы, где нет возможности выбрать симметричное расположение узлов. Заметим, что из (4.3) получается три важные формулы второго порядка точности

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Для вычисления второй производной часто используют следующую простейшую формулу

, (4.7)

которая имеет второй порядок погрешности в центральной точке x₂.

4.2. Формулы численного интегрирования

Формулы для вычисления интеграла получают следующим образом. Область интегрирования [a, b] разбивают на m малых отрезков с шагом . Значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на отрезках , где Выбирают на каждом отрезке 1 – 5 узлов и строят для каждого отрезка интерполяционный многочлен соответствующего порядка. Вычисляют интеграл от этого многочлена на отрезке. В результате получают выражение интеграла (формулу численного интегрирования) через значения подынтегральной функции в выбранной системе точек. Такие выражения называют квадратурными формулами.

4.2.1. Формула средних

Формула средних получается, если на каждом i-ом отрезке [x_i-1, x_i] взять один центральный узел x_i-1/2 = x_i - h/2, соответствующий середине отрезка. Функция на каждом отрезке аппроксимируется многочленом нулевой степени (константой) P₀(x) = f(x_i-1/2). В этом случае получим:

. (4.8)

Погрешность формулы средних имеет второй порядок по h:

(4.9)