6.3.1. Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка
Заменив в (6.4) подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона вида
получим формулу
(6.13)
Схема двухшаговая,
поэтому для начала расчетов необходимо,
сделав один шаг, найти
по методу Рунге – Кутта 2-го порядка,
после чего
вычислять по (6.13).
6.3.2. Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка
Заменив в (6.4) подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона вида
получим формулу
(6.14)
Схема трехшаговая,
поэтому для начала расчетов необходимо,
сделав два шага, найти
по методу Рунге – Кутта 4-го порядка,
после чего
вычислить по (6.14).
6.3.3. Неявная схема Адамса 3-го порядка
Заменив в (6.4) подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона вида
получим формулу
.
(6.15)
Так как схема двухшаговая, то для начала расчетов необходимо, сделав один шаг, найти по методу Рунге – Кутта 4-го порядка, после чего вычисляются по (6.15). Эта формула явно не разрешена относительно , поэтому для получения требуется использовать итерационную процедуру решения уравнения (6.15)
Значение
следует рассчитать по формуле (6.13):
6.4. Краевая (граничная) задача
Рассмотрим граничную задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
y//+p(x) y/ + q(x) y = f(x) (6.16)
на отрезке [a,b] с граничными условиями общего вила
1 y(a) + 1 y/(a) = A
2 y(b) + 2 y/(b) = B (6.17)
В тех случаях, когда невозможно получить решение этой задачи аналитическим методом, используются приближенные или численные методы. Суть приближенных методов.
Выбирается система линейно-независимых дважды дифференцируемых функций {0(x), 1(x), …, n(x)}, при этом функция 0(х) должна удовлетворять граничным условиям (6.17), а функции 1(x), 2(x), …, n(x) – соответствующим однородным граничным условиям. Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций
(6.18)
Подставим выражение (6.18) в (6.16) и найдем невязку левой и правой частей уравнения (6.16)
(6.19)
Коэффициенты с1, с2, …, сn подбирают так, чтобы невязка (6.19) была минимальна. Способ определения этих коэффициентов и характеризует тот или иной метод. В методе коллокаций выбирают n точек xk[a,b], k=1,2,…,n, называемых точками коллокации, невязки в которых приравниваются нулю. Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений получают значений искомых коэффициентов с1, с2, …, сn. Метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы квадратов невязок в заданной системе точек xk[a,b], k=1,2,…,m; m>n. Из условия равенства нулю частных производных от суммы квадратов невязок по искомым коэффициентам сk , k=1, 2, …, n также получают систему линейных алгебраических уравнений. В основе метода Галеркина лежит требование ортогональности базисных функций 1(х), 2(х), …, n(х) к невязке (6.19), которое выражается в виде
Из этого условия также получается система алгебраических уравнений. Решив полученную систему линейных алгебраических уравнений получают значений искомых коэффициентов с1, с2, …, сn . В этом методе нет необходимости выбора семейства узловых точек.