Основы_акустики_Гринченко_Вовк

на поверхности набора колец в зоне между первым и вторым кольца- ми (и, соответственно, между четвертым и пятым).

Рис. 10.46. Пример ближнего поля вектора интенсивности:

а — ω /ω 0 = 1,0; б — ω /ω 0 = 0,825

Совсем другая ситуация наблюдается, когда взаимодействие ко- лец значительное (например, на частоте ω /ω 0 = 0,825, см. рис. 10.45). Именно для этой частоты на рис. 10.46, б показано поле вектора интенсивности звука в ближней зоне колец. Здесь хорошо видно, как поток звуковой энергии излучается первым и вторым кольцами. Далее этот поток разделяется на два потока: один распро- страняется в среде, а второй вливается в центральное кольцо. Таким образом, как мы уже отмечали выше, центральное кольцо поглощает из среды энергию, которую излучают другие кольца. Анализ ближнего поля звукового давления показал, что в данной ситуации на излу- чающей поверхности колец наблюдается три пучности давления: по одной в зонах между первым и вторым, и между четвертым и пятым кольцами, а третья - вблизи третьего (центрального) кольца. Эта пуч- ность имеет фазу, противоположную первым двум пучностям. Отме- тим, что при создании и эксплуатации антенн необходимо избегать подобных режимов работы. Дело в том, что такие режимы приводят к значительным перегрузкам, как электроакустических преобразовате- лей, так и питающих их электрических генераторов и, как следствие, к возможным их разрушениям.

691

Мы рассматривали возбуждение электроакустических преобразо- вателей с помощью монохроматических гармонических сигналов. Ис- пользуя терминологию, принятую в акустической технике, говорят, что такие антенны и преобразователи работают в непрерывном ре- жиме. Однако на практике во многих случаях основным режимом работы преобразователей и антенн является импульсный. В частно- сти, так работают антенны акустических и гидроакустических лока- торов различного назначения. Кроме того, как правило, измерение (тестирование) акустических характеристик антенн и преобразовате- лей выполняется в помещениях и ограниченных искусственных или естественных водоемах, что практически всегда обусловливает ис- пользование импульсного режима [5, 21].

Принимая во внимание вышесказанное, возникают два вопроса, ответы на которые имеют важное теоретическое и практическое зна- чение.

•Какие особенности привносит импульсное возбуждение акусти- ческих антенн в колебания ее преобразователей и излучаемое ими по- ле?

•Будут ли различаться (и насколько) акустические характеристи- ки, измеренные в импульсном и непрерывном режимах работы ан- тенны?

Попробуем ответить на эти вопросы на примере нашей задачи об излучении звука набором пьезокерамических колец. Пусть на элек- троды колец подается одинаковое электрическое напряжение в виде последовательности радиоимпульсов:

где U0 — амплитуда, ω = 2πf = 2π/T, здесь f — частота и T — период несущей, τi и Ti — продолжительность и период следования импуль- сов. Тогда скважность импульсной последовательности q = Ti / τi, а ко- личество периодов несущей в импульсе N = τi / T.

В дальнейшем, как это было описано в параграфе 5.15, строим решение задачи для импульсного возбуждения пьезокерамических колец. Перейдем к анализу конкретных результатов расчета. Сначала рассмотрим ситуацию, когда возбуждается только центральное коль- цо, а другие полностью заторможены и, следовательно, акустическое взаимодействие между кольцами отсутствует. Пусть на центральное кольцо подается электрический импульс (10.157), для которого N = 10 и q = 3. При этом рассмотрим два характерных значения частоты, наиболее интересных с практической точки зрения: значение несу- щей частоты совпадает с частотой резонанса кольца в водной среде

692

(в данном случае — ω /ω 0 = 0,875); частота несущей ниже резонанс- ной области частот кольца (в данном случае мы приняли ω /ω 0 = 0,5).

Рис. 10.47. Временные диаграммы системы (возбуждается центральное кольцо, другие заторможены):

а — электрический импульс; б, в — колебательная скорость центрального кольца и давление в дальнем поле для ω /ω 0 = 0,875; г — колебательная ско- рость центрального кольца для ω /ω 0 = 0,5

На рис. 10.47 представлены временные зависимости исходного электрического сигнала (10.157) и отклика системы (возбуждается только центральное кольцо, другие заторможены), причем вдоль оси абсцисс отложено нормированное время t/τi (на графиках показан отрезок времени, немного больший, чем один период следования им- пульса). На рис. 10.47, б, в показаны графики колебательной скорости

центрального кольца υ3 (t )/υ и давления p (t,r,θ = 90 )/ p , в дальнем

Оба графика иллюстрируют типичные искажения радиоимпульса при прохождении его сквозь механическую (или электрическую) резо- нансную систему. Действительно, на протяжении приблизительно

693

первых шести периодов несущей частоты происходит нарастание сигнала по экспоненте, и система асимптотически приближается к стабильному (непрерывному) режиму работы. Здесь и ниже штрихо- выми горизонтальными линиями указаны уровни колебательной ско- рости и давления, вычисленные в непрерывном режиме работы ан- тенны. После прекращения действия импульса возбуждения скорость и давление уменьшаются по экспоненциальному закону.

Интересно отметить, что на частотах, ниже резонансной зоны час- тот кольца, переходные процессы занимают очень малые отрезки времени, и в целом формы импульсов скорости кольца (см. рис. 10.47, г) и давления в дальнем поле мало отличаются от формы импульса исходного электрического сигнала на рис. 10.47, а. Этого и следовало ожидать, поскольку передаточные функции антенны по скорости и давлению ниже зоны резонанса кольца слабо зависят от частоты (рис. 10.43, 10.44). Вместе с тем в начале и в конце импульса могут наблюдаться короткие резкие “броски” амплитуды колебатель- ной скорости, которые могут отрицательно влиять на эксплуатацион- ную прочность реальных антенн и преобразователей.

Совсем иная ситуация наблюдается, когда в формировании поля принимают участие все кольца и между ними происходит сильное акустическое взаимодействие. Рассмотрим рис. 10.48, а-в, на кото- ром представлены графики отклика системы для ситуации, которая соответствует максимуму мощности излучения. Отметим, что указать резонансную частоту антенны нельзя, поскольку при совместной ра- боте колец каждое из них имеет свою резонансную частоту (рис. 10.45). Как видим, акустическое взаимодействие приводит к тому, что формы импульсов колебательных скоростей колец различаются между собой и существенно отличаются от формы исходного элек- трического импульса. Кроме того, формы импульсов очень далеки от классической формы импульса скорости в случае излучения одним кольцом (см. рис. 10.47, б). Законы нарастания и спадания импульса оказываются разными и отличными от экспоненциального закона.

Еще одной характерной особенностью являются сложные и отлич- ные друг от друга по форме колебания колец после прекращения дей- ствия импульса возбуждения, причем практически на всем сравни- тельно большом межимпульсном временном интервале. В акустике такое явление называют реверберацией (от латинского слова reverbero

— отражаю). Отметим, что в архитектурной акустике [31, 34] это яв- ление обусловлено многократным отражением звуковой энергии от стен помещения, в гидроакустике [20, 46] — отражением от пузырь- ков воздуха в воде, от морского дна.

694

Рис. 10.48. Временные диаграммы системы (возбуждаются все кольца на частоте ω /ω 0 = 0,875): а-в — колебательные скорости колец при q = 3; г — давление в дальнем поле в плоскости z = 0 при q = 3; д, е — колебательные скорости первого и второго колец при q = 5

В нашем случае реверберация вызвана многократным обменом звуковой энергией между кольцами в окружающей среде. Чтобы иметь более полную картину и выяснить, как долго может происхо- дить процесс реверберации после прекращения действия электриче- ского импульса возбуждения, на рис. 10.48, д, е приведены колеба-

695

тельные скорости первого и второго колец при скважности q = 5. Хо- рошо видно, что процесс реверберации длится достаточно долго (на протяжении почти 3τi), экспоненциально затухая.

Следует обратить внимание и на то обстоятельство, что амплитуда колебаний ближайших к торцевым экранам колец почти в 1,5 раза превышает амплитуду в случае непрерывного режима работы антен- ны. Поэтому, игнорирование этого явления, а также, указанных вы- ше “бросков” амплитуды колебательной скорости колец, при проекти- ровании антенн может привести к недопустимым усилиям в растя- жении пьезокерамического материала колец и, как следствие, к раз- рушению колец в процессе эксплуатации.

10.11. Задачи

10.1. Определите энергетические коэффициенты отраже- ния и прохождения нулевой моды через изгиб волновода, представ- ленного на рис. 10.7, б, при условии, что h1 << λ i h2 << λ. Границы волновода - акустически жесткие.

Указания. При таких условиях следует считать, что в волноводе при- сутствующая только нулевая мода (плоская волна). Вообще, ответ на поставленный в задаче вопрос не зависит от угла изгиба волновода. Ответ будет таким и для составного волновода (рис. 10.1). Это обу- словлено тем, что при h1, h2 << λ, среда в окрестности изгиба волно- вода (рис. 10.7) или стыка волноводов (рис. 10.1) ведет себя практи- чески как несжимаемая жидкость. В результате этого конфигурация “стыковой зоны”, с точки зрения прохождения звука через нее, не имеет практического значения. Итак, можно записать приближен- ные условия сопряжения полей на границе стыка как равенство давлений и равенство объемных скоростей (напомним, что объемная скорость - это произведение колебательной скорости на площадь се- чения волновода).

10.2.Объясните физический механизм для двух примеров прак- тического применения эффекта, заключающегося в изменении структуры звукового поля в волноводе с изгибом, которые описаны в конце п. 10.6.1.

10.3.С помощью метода частичных областей постройте решение

задачи о распространении звука в волноводе с ответвлением

(рис. 10.14).

10.4. Определите энергетические коэффициенты отражения и прохождения плоской волны (нулевая мода) при ее распространении в

696

волноводе с ответвлением (рис. 10.14) при условии, что h1 << λ, h2 << λ. Границы волновода акустически жесткие. Обратите внимание на указания к задаче 10.1.

10.5. Пусть в клинообразном объекте на рис. 10.23 отсутствует ду- га АВ, т.е. стороны клина не замкнуты. На основе метода частичных областей постройте решение задачи о рассеянии плоской волны на таком объекте, если угол падения волны θ0 = 0° или θ0 = 180°.

Ответ: поскольку дуга АВ (рис. 10.23) отсутствует, то естественно возникает третья частичная область: 0 ≤ r ≤ a, |θ| ≤ θ1. При заданных направлениях падения волны задача является симметричной относи- тельно оси Ох. В связи с этим в формуле (10.95) для поля в области I исчезает ряд с коэффициентами Bn, и поле давления в области II при- обретает вид

∞

pII = ∑ Cn Jαn (kr )cos(αn (π − θ)), n =0

где αn = nπ / (π – θ1). Поле в области III записывается аналогично:

∞

pIII = ∑ Dn J γn (kr )cos(γn θ), n =0

где γn = nπ / θ1. Условия сопряжения звуковых полей на границах час- тичных областей можно представить двумя способами (запишите са- мостоятельно).

10.6. Рассмотреть задачу 10.5 для случая, когда стороны клинооб- разного объекта (рис. 10.23) замкнуты хордой АВ, представляющей собой жесткую поверхность.

Ответ: в этом случае область III образована хордой АВ и дугой АВ. По- этому поле в области III нужно представить в виде суперпозиции ци- линдрических и плоских волн:

где βn = nπ /h, h = asinθ1, x0 = acosθ1, kn = k2 − βn2 , k = ω/c. К системе уравнений сопряжения полей на границах частичных областей нужно

добавить граничное условие на жесткой поверхности АВ: ∂∂pxIII = 0

при х = х0, |y| ≤ h.

697

Р А З Д Е Л 11

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

26 февраля 1665 г.

…

В то время, как я был вынужден оставаться в постели в течение нескольких дней, я наблюдал за двумя часами в моей мастерской и заметил удивительный эффект, о котором ранее даже не думал. Двое часов, висящих ря- дом на стене на расстоянии одного или двух футов друг от друга, поддерживали согласованность хода с такой высокой точностью, что их маятники всегда качались вместе, без отклонений. Наблюдая это с восхищением в течение некоторого времени, я, наконец, пришел к вы- воду, что это происходит вследствие некой симпатии: когда я сообщал маятникам разный ход, то обнаружи- вал, что через полчаса они всегда возвращались к син- хронизму. И поддерживали его до тех пор, пока я не нарушал их ход...

Из письма Христиана Гюйгенса к отцу [40, c. 442]

11.1. Линейные и нелинейные математические модели

Понятия “линейность” и “нелинейность” имеют не физиче-

ское, а математическое происхождение. Однородное линейное урав- нение (алгебраическое, дифференциальное, интегральное) можно за- писать в символьном виде Lu = 0, где L — линейный оператор, а u — искомая функция. Свойство линейности означает, что L(u + v) =

=Lu + Lv, L(αu) = αLu, где α — постоянная.

Всвоих лекциях Фейнман высказал такую мысль [56, вып.2, с. 422]: “Линейные уравнения очень важны. Они настолько важны, что физики и инженеры, пожалуй, половину своего времени тратят на решение линейных уравнений”. Действительно, существует большое количество линейных математических моделей в самых разных об- ластях науки. Естественно возникают такие вопросы: почему линей- ные модели механики, оптики, электродинамики сыграли ключевую роль в становлении современного естествознания; в чем причина эффективности линейных моделей.

698

В качестве ответа на эти вопросы продолжим далее цитировать Фейнмана: “…главная причина заключается в том, что основные за- коны физики часто линейны. … Если мы поняли линейное уравнение, мы можем в принципе понимать очень многие вещи”.

Итак, линейные уравнения адекватно отражают разные явления природы, т.е. при определенных допущениях (например, малые ампли- туды колебаний) использование линейных уравнений целиком оправ- дано - пренебрежение нелинейными членами не изменяет природу са- мого решения. Популярность линейных уравнений связана также с на- личием эффективного математического аппарата, который активно развивался на протяжении последних двухсот лет.

Характерным свойством линейных систем является принцип су- перпозиции: если u1 и u2 — решения уравнения Lu = 0, то их линейная комбинация αu1 + βu2 (α и β — постоянные) также будет решением. Действительно, если Lu1 = 0, Lu2 = 0, то L(αu1 + βu2) = L(αu1) + L(βu2) = = αLu1 + βLu2 = 0. Принцип суперпозиции дает возможность эффек- тивно решать неоднородные линейные уравнения Lu = f, где функция f не зависит от u. В предыдущих разделах, эти свойства мы широко применяли.

Линейные уравнения движения имеют решения, которые изменя- ются во времени по гармоническому закону, поэтому различные фи- зические системы (см. рис. 2.1) имеют общие характерные признаки. Именно это обеспечивает широкое использование теории гармониче- ских колебаний в отличие от систем, которые описываются нелиней- ными уравнениями, решения которых не имеют такого “фамильного свойства”. Однако в ряде случаев вследствие линеаризации системы, хотя и осуществленной путем пренебрежения достаточно малых ве- личин, получаем грубое, упрощенное представление действительных процессов с количественными результатами, которые иногда являют- ся непригодными даже для приближенных расчетов. Во всяком слу- чае, линеаризация ограничивает возможность полного и всесторонне- го раскрытия всех колебательных свойств системы. Часто она приво- дит к неправильным выводам относительно поведения системы и во- обще является недопустимой.

Итак, при общем рассмотрении выясняется, что большинство яв- лений нашего мира нелинейные. Первая наука, которая с этим столк- нулась, — это небесная механика. Было выяснено, что период обра- щения планет зависит от их энергии (первый закон Кеплера ). Вообще нелинейность — неотъемлемая характеристика всякой системы, ко- торая эволюционирует во времени. Сейчас исследованиями нелиней- ных явлений занимаются не только физики, но и биологи, химики, экономисты. К “нелинейным наукам” можно отнести теорию элемен-

Кеплер (Kepler) Йоганн (1571—1630) — немецкий астроном и математик.

699

тарных частиц, динамику атмосферы и океана и много других облас- тей современной науки.

Но в отличие от линейных систем нелинейные системы невозможно рассматривать в рамках одного общего формального подхода, исполь- зуя, например, принцип суперпозиции или преобразование Фурье. Ли- нейная суперпозиция двух или нескольких колебательных движений нелинейной системы не является колебанием последней. Иначе говоря, из частных решений дифференциального уравнения нелинейной сис- темы невозможно составить общее решение подобно тому, как строи- лось общее решение линейного уравнения. Если сила, которая действу- ет на систему, разложена в ряд Фурье, то ее влияние на нелинейную систему не будет равняться линейной сумме влияний каждого отдель- ного гармонического слагаемого этого ряда. Поэтому создание анали- тических методов решения для нелинейных задач намного сложнее, чем для линейных задач.

Для большинства важных нелинейных уравнений, которые необ- ходимо исследовать, сегодня не существует решения в аналитическом виде! Их анализ нуждается в объединении современных аналитиче- ских методов с расчетами на ЭВМ. Фактически компьютер выступает как соавтор открытия, поэтому именно с появлением ЭВМ стало воз- можным значительное углубление понимания нелинейных явлений. Конечно, ставить задачу для ЭВМ следует с пониманием, тогда и по- лучим физически разумный ответ.

В процессе развития науки казалось, что “нелинейные трудности” разных задач являются специфическими и не связаны между собой. И только в 30-тые годы ХХ ст., в значительной степени благодаря деятельности Мандельштама, начало формироваться “нелинейное мышление”, “нелинейная культура”. Произошло переосмысление в сознании физиков, что позволило рассматривать нелинейные колеба- тельные системы действительно как нелинейные, а не как почти ли- нейные, близкие к линейным. Сформировался своеобразный нели- нейный язык, который оперировал такими понятиями, как нелиней- ный резонанс, автоколебания, параметрическое взаимодействие и т.д.

В этом разделе мы лишь “прикоснемся” к богатому миру нелиней- ных колебаний. Наша цель — не анализ математических методов ис- следования нелинейных систем, а понимание новых физических яв- лений, характерных для таких систем. Мы лишь познакомимся с ос- новами нелинейного языка и “нелинейного мышления”. При этом главным моментом при изучении теории “нелинейных колебаний” является понимание того, что это наука, которая исследует простые математические модели фундаментальных явлений, происходящих в мире колебательных систем. Именно этой точки зрения мы придер- живаемся, и она положена в основу нашей книги.

700