6.4.2 Определение длины вала (первая компоновка)

Для первой компоновке вала выполняется в масштабе 1:1 эскиз вала с размещенными на нем подшипниками, зубчатыми колесами и т.п. Для примера изобразим эскиз промежуточного вала двухступенчатого редуктора (рисунок 20). Здесь показаны размеры элементов на валу: b – ширина венца колеса; b₁ – ширина венца шестерни; l_ст – длина ступицы колеса; с₁ – расстояние между колесами, с₁ = (5…7) мм; с₂ – расстояние от торца колеса до подшипников, с₂ = (15…20) мм.

Если ширина шестерни b₁ (так часто бывает) больше d_в, то ступица не предусматривается.

Рисунок 20 – Эскиз вала

По dв в первом приближении по ГОСТу подбираются радиальные однорядные шариковые подшип-ники средней серии. Средняя серия подшипников, у которых большая ширина колец по сравнению с лег-кой серией, выбирается потому, что возможна коррекция величины диаметра вала в большую сторону в дальнейшем расчете. Это повлечет увеличение длины ступицы и при

сохранении зазоров с₁ и с₂ увеличение длины вала, что нежелательно. Величина В – ширина подшипника. Из центров венцов колес и центров подшипников опускаются перпендикуляры и с чертежа определяются размеры l₁, l₂, l₃ – это расстояния между точками приложения сил и центрами опор.

6.4.3 Расчет вала на изгиб с кручением

Силы, определенные в п. 3, приложены к зубьям шестерни и колеса, они должны быть приведены (перенесены) непосредственно к валу, к геометрической оси вала.

Перенос сил, действующих на зубьях колес, основан на теореме о параллельном переносе силы (теоретическая механика, статика) [34]. «Силу, приложенную к телу, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным произведению этой силы на плечо».

Для пояснения этого на рисунке 21 к телу в точке С приложена сила R, эту силу можно перенести параллельно ей самой в другую любую точку, например, в точку О, прибавляя при этом пару с моментом, равным произведению этой силы R на плечо d, т.е. момент, равный Т= R∙d. Теперь в точке О действует сила R и момент Т= R∙d, равновесие при этом не нарушено, в точке С силы R нет.

Или на основе аксиомы о присоединении уравновешенной силы «Равновесие тела не изменится, если в любой точке тела приложить две уравновешенные силы (силы, равные по величине и противоположно направленные)». На рисунке 21 в точке О приложены две уравновешенные силы R=-R, которые не изменяют равновесие тела. Но теперь в этом положении силы R и -R создают момент, равный произведению силы R на плечо d, т.е. момент Т= R∙d. Теперь в точке С сила R не действует (ее там нет), а в точке О действует момент Т= R∙d и сила R.

На примере косозубого колеса, силы F_t, F_a, F_r, действующие в зацеплении зубьев, приведены к геометрической оси вала (рисунок 22).

Рисунок 21 – Схема переноса сил

Рисунок 22 – Схема переноса сил к геометрической оси вала

Радиальная сила F_r всегда направлена перпендикулярно к оси вала от точки приложения, ее переносить не надо, она пересекает вал и расположена в горизонтальной плоскости (по рисунку). Если контакт зубьев происходит в верхней или нижней точках, то она будет расположена в вертикальной плоскости.

Окружная сила F_t расположена в вертикальной плоскости (по рисунку 22), на основе аксиомы о присоединении уравновешенных сил, параллельно силе F_t к геометрической оси вала приложены две уравновешенные силы F_t^’ и F_t^”, равные и параллельные F_t. Теперь силы F_t и F_t^” создают крутящий момент Т= F_td/2 (этот момент был определен в кинематическом расчете первой части), сила F_t^’= F_t изгибает вал в вертикальной плоскости.

Осевая сила F_a расположена в горизонтальной плоскости (по рисунку 22) и направлена параллельно оси вала. Аналогично предыдущему случаю, приложим две уравновешенные силы F_a^’=F_a^” равные силе F_a к геометрической оси вала. Теперь силы F_a и F_a^” создают изгибающий момент в горизонтальной плоскости, равный М_и=F_а∙d/2. Сила F_a^’ действует теперь вдоль геометрической оси вала, и от того какая опора шарнирно неподвижна, либо сжимает часть вала, либо растягивает ее. Часто эти напряжения в расчете не учитываются из-за незначительности.

При определении изгибающих сил и моментов пользуются методом независимости действия сил или методом суперпозиции. Для чего изображаются схемы вала в горизонтальной и вертикальной плоскостях с приложенными силами и моментами, определяются реакции в опорах, строятся эпюры изгибающих моментов в каждой плоскости, определяется суммарный изгибающий момент, а затем в опасном сечении определяется расчетный (приведенный) момент и по нему определяется диаметр вала.

Рассмотрим на примере промежуточного вала двухступенчатого редуктора определение изгибающих моментов (рисунок 23). На рисунке внешние силы уже приведены к геометрической оси вала: F_t1, F_t2, F_r1, F_r2, M₂- изгибающий момент от осевой силы F_a (сама сила F_a на схеме не показана из-за незначительности, так как не учитываются деформации сжатия или растяжения вала от этой силы), крутящий момент T= F_t2∙d₂/2 от силы F_t2 показан отдельной эпюрой в нижней части рисунка 23.

Рисунок 23 – Эпюры изгибающих моментов

Изображается эскиз вала в вертикальной плоскости, приклады-ваются силы Ft1 и Ft2, обозначаются реакции в опоре А и В: . Для определения реакции состав-ляется уравнение моментов всех сил относительно точки В: ; (ℓ1+ℓ2+ℓ3)+Ft2(ℓ2+ℓ3)+ Ft1∙ℓ3 = 0 и реакция определится . Для определения реакции составляется сумма моментов всех сил относительно точки А (ℓ1+ℓ2+ℓ3)-Ft1(ℓ1+ℓ2)-Ft2ℓ1=0 и реакция равна .

Строится эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости, в горизонтальной плоскости.

Далее расчет аналогично повторяется и для горизонтальной плоскости: изображается эскиз вала с силами и моментом М₂ в горизонтальной плоскости, определяются реакции составлением уравнений моментов относительно точки А, затем точки В; строится эпюра изгибающих моментов.

Зная реакции в горизонтальной плоскости и в вертикальной плоскости, можно определить результирующую реакцию в опоре А (это та же самая радиальная нагрузка F_r в опоре А, необходимая при расчете подшипников).

=F_r. (6.2а)

Определяются суммарные изгибающие моменты в характерных точках вала геометрическим сложением моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях по типу

,

и строится эпюра суммарного изгибающего момента М_И. Строится эпюра крутящего момента Т (рисунок 23).

В опасном сечении вала по наибольшему суммарному изгибающему моменту М_И и крутящему моменту Т определяется расчетный (приведенный) момент М_Р, учитывающий совместное действие изгиба и кручения по 3 теории прочности (теория наибольших касательных напряжений)

, (6.3)

где α – коэффициент приведения, учитывающий, что нормальные напряжения изгиба меняются по симметричному циклу, а касательные – по ассиметричному пульсирующему (нереверсивная передача) и α≤0,59 или симметричному циклу (реверсивная передача) и α=1.

Условие прочности на изгиб с кручением приводят к нормальным напряжениям по симметричному циклу по формуле:

, (6.4)

где W_X – осевой момент сопротивления сечения вала (W_X=πd³/32=0,1d³).

Условие прочности ,

откуда диаметр вала определяется выражением

. (6.5)

Если в опасном сечении вала будет устанавливаться подшипник, то значение вала округляют до числа, оканчивающегося на цифру 0 или 5 (отверстие внутреннего кольца подшипника).

Допускаемое напряжение [σ_-1] зависит от характера приложенной нагрузки к валу. При постоянной нагрузке [σ]=0,33σ_B, при пульсирующей [σ₀]=0,194σ_B, при симметричной нагрузке [σ_-1]=0,0868σ_B.

Для стали 45 σ_В=600 МПа и [σ_-1]=0,0868σ_B=0,0868∙600=52,1 МПа (Н/мм²).