Электромагнитные поля и волны.-3
.pdf
81
3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
1. Задан потенциал |
ϕ = 2 × r 2 - 4 , |
где |
r - цилиндрическая координата. |
||
Определить объёмную |
плотность |
заряда, создающее это поле, считать e= |
|||
e0. |
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
1. 0 |
2. 4 ×ε 0 3. - 4 ×ε 0 |
4.8 ×ε 0 |
5 - 8 ×ε 0 |
||
2. Исходя из условия теоремы единственности, произведите выбор
произвольных |
постоянных |
в |
выражении |
для |
потенциала |
||||||||||
|
|
× 1 |
|
|
+ |
D × r |
λ |
× (A × cos(λ ×α ) + B × sin(λ ×α )) |
в области V |
||||||
ϕ = C |
λ |
λ |
|
||||||||||||
|
|
r |
|
λ |
|
|
λ |
|
λ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r,a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы:
1.Cλ = Bλ = 0 ,
2.Cλ = Aλ = 0 ,
3.Dλ = Aλ = 0 ,
4.Dλ = Bλ = 0 ,
5.Cλ = Dλ = 0
3.Над положительно заряженной, металлической плоскостью с
поверхностной плотностью заряда ξ помещен точечный заряд + q . На
какой высоте h сила, действующая на заряд равна нулю?
Ответы:
82
h = 2 × |
|
|
|
|
q |
|||||||||
|
|
π ×ξ |
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h = |
|
|
|
|
q |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
π ×ξ |
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h = |
|
× |
|
|
|
|
q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
π ×ξ |
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
h = |
|
× |
|
|
|
|
|
q |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
π ×ξ |
||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h=
5.
2π ×ξ
4.Каков потенциал ϕ в точке M, создаваемый точечным зарядом q,
расположенным над идеально проводящей плоскостью?q
q
a |
M |
2a |
Ответы:
×
ϕ=
1.16 ×π ×ε × a3 q
2. ϕ = - |
q |
5 ×π ×ε × a |
×
ϕ= -
3.10 ×π ×ε × a3 q
|
ϕ = |
|
3 × q |
4. |
|
×π ×ε × a |
|
10 |
|||
ϕ= q
5.5 ×π ×ε × a
5.Определите энергию электростатического поля, запасную в объёме цилиндра радиуса R=1 и длиной l=1. Ось цилиндра совпадает с осью
83
OZ. Потенциал ϕ = x 2 + y 2 . Какой из ответов верен?
Ответы:
1.4 ×π ×ε
2.1 ×π ×ε
4
3.2 ×π ×ε
4.π ×ε
5.1 ×π ×ε
2
6.Найти распределение потенциала ϕ и напряженности поля между
электродами на рисунке. Пластины |
при r = 0 изолированы |
друг |
от |
друга и бесконечны в направлении |
r. При решении учесть, |
что |
ϕ |
зависит только от цилиндрической координаты α. Какой из ответов верен?
ϕ=U
2
α
o
ϕ=U1
Ответы:
|
ϕ = |
U1 -U 2 |
|
+U1 , Er |
= |
|
U 2 -U1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1. |
|
|
|
|
α |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r ×α 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. ϕ = |
U 2 − U1 |
×α + U |
, E = |
U1 − U |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α |
1 |
|
α |
|
r ×α0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ϕ = |
U1 − U 2 |
×α +U1 , Er |
= |
U1 − U 2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
α |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ×α 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
U 2 -U1 |
+ U1 , Er = - |
U 2 + U1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
α0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ×α0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
84 |
|
|
|
|
ϕ = |
U1 -U 2 |
×α -U1 , Er |
= - |
U 2 -U1 |
|
|
|
r ×α 0 |
||||
5. |
|
α |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Во сколько раз увеличится ёмкость двухслойного конденсатора, если
толщину первого слоя сделать равной |
нулю. ε 2 = 2 ×ε1 при сохранении |
||||||||
расстояния между пластинами равными 2d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
||
1.В 2/3 раза, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.В 2 раза, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.В 3 раза, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.В 3/2 раза, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.В 1/2 раза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Диэлектрическая проницаемость среды равна |
ε = x ×ε 0 . |
|
Найти |
||||||
выражение для напряженности поля E1 , |
полагая, что |
объёмные |
заряды |
||||||
отсутствуют. Какой из ответов верен ( поле зависит |
только от x, A - |
||||||||
const.)?
Ответы:
1.E X = A x
2.EX = A × x
3.EX = A × ln x
4.E X = A × x 2
5.EX = А + х
9.Над землёй на высоте h подвешен провод с зарядом τ на единицу длины. Как изменится электрическая сила, действующая на провод, если его опустить до высоты h/2.
85
Ответы:
1.Сила, действующая на провод, уменьшится в 4 раза
2.Сила увеличится в 4 раза
3Сила уменьшится в 2 раза
4.Сила увеличится в 2 раза
|
|
|
5.электрическая сила в обоих случаях равна нулю |
|
|
||||
10. |
|
Сколько из |
указанных |
потенциалов |
нельзя |
создать |
без |
||
использования объёмных зарядов? |
|
|
|
|
|||||
1) ϕ 1= 3 × x 2 + 3 × y 2 ; |
2) ϕ 2= 4 × x × y 3 - 4 × y × x3 ; |
3) ϕ 3= x 4 - 6 × x 2 × y 2 + y 4 |
|
||||||
|
|
|
4)ϕ 4= x 2 - y 2 ; |
5) ϕ 5= x 2 + y 2 . |
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1.Только одно поле имеет объёмные заряды |
|
|
||||
|
|
|
2.Два поля имеют объёмные заряды |
|
|
|
|||
|
|
|
3.Три поля имеют объёмные заряды |
|
|
|
|
||
|
|
|
4.Всегда объёмные заряды отсутствуют |
|
|
|
|||
|
|
|
5.Все поля имеют объёмные заряды |
|
|
|
|||
11. |
При x>0 диэлектрическая |
проницаемость |
зависит от |
x по закону |
|||||
ε = |
ε 0 |
|
. Определить |
потенциал |
ϕ полагая, |
что |
он зависит |
только |
от x и |
|
|
||||||||
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|||
объемные заряды отсутствуют.
Ответы:
1.ϕ = C1 × ln(1 + x) + C2
2.ϕ = C1 × ln(1 + x)2 + C2
3.ϕ = C1 |
|
1 |
|
|
|
× ln |
|
|
+ C2 |
× x |
|
|
|||||
|
|
1 + x |
|
|
|
4.ϕ = C1 × ln(1 + x)× x + C2
5. ϕ = C1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
+ C2 |
||
|
|
||||
× x + |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
86 |
|
|
|
|
12. Вектор напряженности электрического поля |
|
= 3 × x 2 × i + 3 × y 2 × |
|
. Найти |
E |
j |
|||
разность потенциалов между точками M1 (1,1,0) и |
M 2 (0,0,0) j (M1)- j (M2). |
|||
Ответы: |
|
|
|
|
1) 0, 2) +1, 3) +2, 4)-2, 5) -1 |
|
|
|
|
13.Какое из приведенных выражений соответствует потенциалу
изображенного |
на |
рисунке |
плоского |
конденсатора? |
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
ϕ = -U 0 |
x |
|
y |
|
d |
ϕ = 0 |
-x |
ϕ= U 0 × d -U 0
1.x
ϕ= - U 0 × d -U 0
2.x
ϕ= U20 × x2 -U 0
3.d
ϕ= - U 0 × x -U 0
4.d
ϕ= - U 0 × x +U 0
5.d
14.Какова сила, действующая на точечный заряд идеально проводящей плоскостью?
Ответы:
R |
= - |
|
|
i × q |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. F |
|
|
|
|
||||||
4 ×π × ε × a2 |
||||||||||
R |
= |
|
i × q |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. F |
|
|
||||||||
4 ×π × ε × a2 |
||||||||||
q , находящийся над
q
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× q |
|||
|
|
|
|
R |
i |
||||||||||
|
3. |
|
F = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
×π × ε × a2 |
||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|||||||||||
|
|
R |
= - |
|
|
|
i × q |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4. F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
×π × ε × a2 |
|||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
||||||||||
|
|
|
|
× q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
= - |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 ×π × ε × a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15.Чему равен потенциал поля, если вектор напряженности
электрического поля равен E = A ×x0 ×sin(k × x) ?
Ответы:
1.ϕ = - A × cos(k × x) + B k
2. ϕ = A × k × cos(k × x) + B
3. ϕ = A × x × sin(k × x)
4.ϕ = A × cos(k × x) + B k
5. ϕ = -A × k × sin(k × x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2U |
+ D × |
дU |
= 0 |
|
16. Разделить переменные |
|
|
|
уравнении дx 2 |
|
|
||||||||||||
в |
|
|
дt |
и записать |
||||||||||||||
частное решение, |
где D - const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ × x |
|
|
|
|
|||||||
U = Cλ × exp - |
|
|
|
× t |
× sin |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
λ × x - |
|
|
|
|
|
|
|||||||
U = |
Cλ × exp |
- |
|
|
|
|
|
× t |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U = |
Cλ × sin |
λ × x × exp |
|
|
× t |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|||
88
U = Cλ
4.
U = Cλ
5.
|
|
|
2 |
λ |
|
|
|
|
|
||||
× sin( |
λ × x |
|
)× exp |
|
× t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
λ × x |
|||||
× exp |
- |
|
× t |
× cos |
|||
D |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
17. Определите |
поле |
E2 , если поле E1 |
= 2 × z × i + 3 × y × |
j |
+ |
k |
. |
Какой из |
||||||||||||||||
ответов верен? |
На |
границе поверхности |
заряды |
|
|
|||||||||||||||||||
отсутствуют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
ε1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II |
ε 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
= 2 × z × i + 3 × y × |
|
+ ε 2 |
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
E2 |
j |
ε |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 = ε1 |
|
× 2 × z × i + ε1 |
|
|
× 3 × y × |
|
+ ε1 |
|
× |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ε 2 |
ε 2 |
j |
ε |
k |
|
|
|||||||||||||||||
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.E2 = 2 × z × i + 3 × y × j + ε1 ε 2 × k
4.E2 = E1
5.E2 = 2 × z × i + 3 × y × j
18.В каких случаях потенциал создаётся без помощи объёмных зарядов?
ϕ |
1 |
= A × (x 2 |
+ y 2 ) |
ϕ |
2 = B |
m |
× cos mx |
; |
ϕ |
3 |
= C × r 2 × ln r + D |
, |
где A, B, C, m,D - |
|
|
|
; |
|
|
|
|
постоянные, r - цилиндрическая координата.
Ответы:
1.Во всех случаях объёмные заряды имеются;
2. Во всех случаях объёмные заряды отсутствуют;
3.Объёмные заряды есть только в случае 2;
4.Объёмные заряды есть только в случае 3;
5.Объёмные заряды отсутствуют в случаях 2 и 3
89
19. На |
большом |
расстоянии |
от системы |
тел, |
расположенных |
вблизи |
||||
начала |
координат, |
потенциал |
поля имеет |
вид |
ϕ = |
|
5 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
2 ×π ×ε × x 2 + y 2 + z 2
Определить полный заряд тел.
Ответы:
1)10, 2) -10, |
3) 5, 4) -5, 5) 0 |
|
|
|
|
|
|
20. Дана напряженность электрического поля |
|
= 2 × y × |
|
+ 2 × z × |
|
. Полагая, |
|
E |
j |
k |
|||||
что в точке z = 0 , y = 0 |
потенциал равен нулю, |
найти ϕ в любой точке |
|||||
пространства. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
1.ϕ = -2 × x + 2 × y + c
2.ϕ = −(z 2 + y 2 )+ c
3.ϕ = z × x
4.ϕ = ln z − ln y
5.ϕ = 
(z 2 + y 2 )
21. В поле точечного заряда перемещается заряд отстоящую от первого заряда q на расстоянии поля при этом?
Ответы:
(- 2 × q) |
из ¥ в точку, |
r . Чему |
равна работа |
|
A = |
q 2 |
1. |
2 ×π ×ε × r |
|
|
|
2 |
2.A = 4 ×π ×ε × r 2q
|
A = - |
q 2 |
3. |
4 ×π ×ε × r 2 |
90
|
A = - |
q 2 |
4. |
4 ×π ×ε × r |
2
5.A = 2 ×π ×ε × r 2
22.Какой из приведенных ниже векторов может быть вектором напряженности электростатического поля?q
Ответы:
1.A = y × i - x × k
2.A = [i, r]
3.A = [(z ×i + y × j + x × k ), j]× x3
4.A = y × i + x × k
|
|
|
A = rot[(y 2 ×i - x × |
|
),i] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
k |
|
|
|
|
|
|
|||
23. |
Поле |
в |
пространстве создается |
системой |
длинных, параллельных |
|||||||
оси Z электродов, расположенных вблизи неё. Длина их столь велика, |
||||||||||||
что |
поле, |
создаваемое |
ими, можно |
считать |
не |
зависящим |
от Z. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
cosα |
|
|
Потенциал |
поля вдали |
от этой системы равен |
= - |
|
, |
где a, r- |
||||||
4 ×π ×ε 0 × r |
||||||||||||
цилиндрические координаты. Чему равен полный заряд на единицу длины электродов?
Ответы:
|
1. + |
1 |
|
2. + 1 |
3. − 1 |
4. 0 5. |
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
24. |
Потенциал |
электростатического |
поля |
задан уравнением |
||||||
ϕ = a × x3 |
+ b × y 2 . |
Определить заряд, |
сосредоточенный |
в единичном кубе, |
||||||
рёбра которого совпадают с осями декартовых координат.
Ответы: