Электромагнитные поля и волны.-3
.pdf
31
A =5 r ; B =x2 i ; C =z2 k ; D =y2 i +z2 j .
Ответы:
1. Ни одно из полей не является соленоидальным;
2)поле A ;
3)Поле B ;
4)Поле C ;
5.ПолеD .
96. В каком случае поток вектора A через фигуру B равен нулю?
ОТВЕТЫ: |
|
1. |
2 |
|
3 |
4 |
|
. |
|
|
|
||
. |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
B |
B |
Ответы: 1) 2) |
3) |
4) |
|
|
|
|
97. Вычислить |
циркуляцию |
вектора |
|
A = − y 2 i + x 2 j |
по контуру L , |
|
изображенному на рисунке. |
|
|
|
|
||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− L |
|
X |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
OТВЕТЫ: 1. 0 |
2. − 1 |
3. 1 |
4. 2 |
5. |
2 |
|
98. Какое из приведенных полей является соленоидальным?
A |
= x 2 i + y 2 |
j |
; |
B |
= |
r |
; |
C |
= x 2 i + z 2 |
j |
+ y 2 |
k |
; |
ОТВЕТЫ:
1.Поле A
2.B
32
3. C
4.Ни одно из полей не является соленоидальным
5.Все поля соленоидальны.
|
|
|
|
mr0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где r = x |
2 |
+ |
|
2 |
+ z |
2 |
|
|||
99. Определить поток вектора a = |
, |
y |
через |
||||||||||||
r 2 |
|
|
|
||||||||||||
поверхность сферы радиуса r = 5м |
и с центром в точке |
|
r = 0 . |
|
|
|
|
||||||||
ОТВЕТЫ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
2π × m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
25π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. 20πm
5. 2π × m
25
100. Какое из приведенных полей является соленоидальным?
A = zr ; B = rot M (где M - произвольное векторное поле ); C = [k, r];
D = zk ; r - радиус вектор.
ОТВЕТЫ:
1)Только одно поле соленоидально
2)Все поля соленоидальны
3)Три поля соленоидальны
4)Два поля соленоидальны
5)Ни одно из полей не является соленоидальным
101. Вычислить ротор вектора H = j, r , где r - радиус-вектор.
ОТВЕТЫ:
1.0
2.i × z + k × x
3.2× j
4. - i + j
33
5. − k
102.Определить поток радиус-вектора (П) через поверхность единичного
куба.
Ответы:
1)1
2)2
3)3
4)4
5)5
103. Определить уравнения силовых линий поля E = −10zi + 20 j + 10xk .
ОТВЕТЫ:
|
|
x 2 |
+ z 2 |
= C 2 |
||
1. |
y = C2 |
|
1 |
|||
+ 2 arcsin 2 |
||||||
|
|
|
|
|
C1 |
|
2. |
x 2 |
+ z 2 |
= C 2 |
|||
|
|
|
1 |
|||
zy |
+ 2x |
= C2 |
||||
|
|
|||||
3. |
x 2 |
− z 2 = C |
||||
|
|
|
|
1 |
||
4zy = C2 + 2x |
||||||
|
||||||
4. |
|
z = C1 + x |
||||
y = C2 − C1 sin x |
||||||
|
||||||
5. |
x 2 |
+ z 2 |
+ y |
= C |
||
|
|
|
|
1 |
||
|
z |
= C2 |
||||
|
|
|||||
104. Какая из приведенных линий может быть векторной линией
A
A
|
|
|
A |
пол |
|
|
A |
|
A |
я |
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
5 |
A . |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
34
ОТВЕТЫ: 1) 2) 3) 4) 5)
105. Определите уравнения векторных линий вектора
.
E = r 2 xi + r 2 y j + r 2 zk
ОТВЕТЫ:
1. |
x |
− y = C1 |
|
|
|
|
|
|
x − z = C2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
x + y = C1 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
+ x = C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
xy = C1 |
|
|
|
|
|
|
|
zy = C2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
|
z + y + x = C1 |
|
|
|
|
|
|
|
r = const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
x = yC1 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
= zC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
106. Вычислить div grad ϕ? Где |
ϕ = x 2 |
+ y 2 |
+ z 2 . |
|
||||
ОТВЕТЫ: |
1) 2; |
2) 3; |
3) 4; |
4) |
5; |
5) 6. |
||
107. Сколько из приведенных полей являются потенциальными?
A |
= x 2 i − y 2 |
j |
; |
B |
= |
r |
; |
C |
= z |
k |
; |
D |
= xi + y |
k |
; |
ОТВЕТЫ:
1)0
2)1
3.2
4.3
5) 4
108. Чему равно rotrota ?
35
Ответы:
R |
- Ñ2 |
R |
1.1) graddiva |
× a |
2)graddiva - Ñ × a
3)R - Ñ2 × R divgrada a
4)Ñ2 × aR
5)0
R R
109. Определить rotA = ? Вектор А задан выражением A = − y 2 i + x 2 j .
Ответы:
1)k (2x − 2 y)
2)k (2x / 2 y)
3)k (2x + 2 y)
4)k (4x + 4 y)
5)k (2 y + 2x)
110. Чему равна проекция градиента на поверхность уровня?
ОТВЕТЫ:
1)0 ;
2)∞ ;
3)gradϕ ;
∂ϕ × R0
4) ¶n n ;
5) 1 gradϕ
2
36
2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
1. Через замкнутое кольцо с радиусом a протекает два потока B = B0 sin tω ,
отличающиеся только наклоном к нормали n0 - круга 30о и 1200 . Чему
равна ЭДС, возбуждаемая в кольце этими потоками.
Ответ:
1) Э = -0.7ω ×π × a 2 B0 cos tω
2)Э = 0.5ω ×π × a 2 B0 cos tω
3)Э = - 12 π × a 2 B0 cos tω
4)Э = 0
5)Э = 0.7ω ×π × a 2 B0 sin tω
0 μ0 0
2. Если в анизотропной среде μˆ = μ0 0 μ0 и H = H x i , то как
0 μ0 0
направлен вектор B ?
Ответ:
1)B = B j
2)B = Bi
3)B = Bk
4)B = Bx i + By j
5)B = Bx i + Bz k
3.Запишите граничные условия для магнитного поля при наличии
поверхностных токов на стенках металлической трубы, представленной
на рисунке. Cчитать I – ой средой объем внутри трубы.
37
Ответ:
1) |
H x1 − H x 2 |
= δ пов |
при |
|
By1 − By1 |
= 0 |
|
2) |
H y1 − H y 2 |
= J пов |
при |
|
By1 − By1 = 0 |
|
|
y = 0; y = b
y = 0; y = b
|
|
|
|
|
|
|
H |
y1 |
− H |
y 2 |
= J |
пов при y = 0; y = b |
||||
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx1 − Bx1 = 0 |
|
||||||
H |
y1 |
− H |
y 2 |
= J |
|
|
при |
x = 0; |
x = a |
|||||||
4) |
|
|
|
|
|
пов |
||||||||||
|
Bx1 − Bx1 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
H |
x1 |
− H |
x 2 |
= J |
|
при x = 0; |
x = a |
|||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
пов |
|||||||||
|
|
Bx1 − Bx1 = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
4. При каких условиях выполняется равенство div[r × H ]= 0 , где
r − радиус-вектор, H − вектор напряженности магнитного поля.
Ответ:
1)divE = 0
2)divH = 0
3)rot E = 0
R
4)δ = 0
5)всегда
5.Вычислить и определить направление вектора D в среде с
проводимостью, равной нулю, если H = x0 H 0 cos(tω − kz), где k = const ;
ω = const .
Ответ:
38
1)D
2)D
R
3) D
R
4) D
R
5) D
= - zR 0 wH o cos(wt - kz) k
= - xR 0 kH 0 sin(wt - kz) w
R
= + y0 kH 0 sin(wt - kz) w
R
= - yo kH o cos(wt - kz) w
R
= + yo kH 0 cos(wt - kz) w
6. Удельная проводимость среды |
σˆ |
выражается тензором. Какой вид |
||||||||||||||||
|
R |
|
R |
R |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет этот σˆ , если |
δ = δ 0 |
+ δ1 , где |
δ 0 |
= σ × E , δ1 = k × [E × z0 × H 0 ]. k- |
||||||||||||||
постоянная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) |
= |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)σ |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
κH 0 |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
σ |
|
0 |
|
κH 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
= |
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)σ |
- κH 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
κH |
0 |
0 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
σ |
0 |
κH 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
) |
= |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)σ |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
κH 0 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
σ |
κH 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) |
= |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4)σ |
κH 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
κH 0 |
κH 0 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
κH 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) |
= |
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)σ |
κH 0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. В каком из замкнутых контуров возникает наибольшая ЭДС, если
нормаль к площадке и вектор B = B0 sin ω ×t , в поле которого оказались
39
площадки, расположены под углом θ ?
Ответ:
|
|
|
θ=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ = 30 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
θ=45 |
|
|
|
|
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
θ = 00 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0,8×S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2S0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2) |
|
|
0 |
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ε |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Под |
|
|
|
|
|
векторы |
|
, |
|
|
|
, |
если ε = ε |
ε |
ε , а |
||||||||||||||
каким углом |
расположены |
E |
D |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = x0 E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) 300 |
2) 450 |
3) 600 |
4) 900 |
|
5) 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. Вдоль тонкостенной трубы радиуса |
a и тонкого |
|
|
|
I1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
проводника, |
совпадающего с осью трубы протекают |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I 2 и - I1 . Каково магнитное |
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
||||||||||||
|
постоянные |
токи |
поле |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
в точках, отстоящих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
(μ =μ0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
от оси трубы на расстояниях |
a 2 и |
3a ? |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: |
|
1) H1 |
= I 2 |
× a) |
; H 2 |
= (I 2 - 3I1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(π |
|
|
|
|
|
(6π × a) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2) H1 |
= 0 ; |
|
H |
2 = |
(2I |
1 - I 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6π × a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3) H1 = |
(I 2 - I1 ) |
|
|
; |
H 2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(6π × a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4)H1 = I 2 (2π × a) ; H 2 = I 2 - I1 (12π × a)
5)H1 = I 2 (2π × a) ; H 2 = (2I 2 - 3I1 ) (12π × a)
10 Укажите размерность результата rotH = 5x° .
40
Ответ:
1)А/м-1 2) А/м 3) A××м2 4) A××м 5) А/м2
11.По идеально проводящей плоскости протекает постоянный ток,
причем поверхностная плотность тока η А |
м |
в каждой точке вблизи |
|
|
плоскости. Определить магнитное поле в любой точке вблизи плоскости.
Z
ηY
X
Ответ:
1) |
|
= ±η |
|
|
А |
|
H |
y |
|
||||
2 |
|
0 |
м |
|||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) H = -η × yo |
A / м |
|||||
3)H = 2 ×η × x0 А м
4)H = η 2 x0 А м
5)H = ±η 2 z0 А м
12.Металлический шарик радиусом r = 1см заряжен положительным
зарядом q = 4 ×10−9 Кл. |
Чему равна напряженность электрического поля |
|||
|
|
|
2м от центра заряженного |
шарика? Справка: |
|
E на расстоянии |
|||
Диэлектрическая проницаемость среды ε = 2,5 ×10 |
− 8 |
|||
ф \ м . |
||||
Ответ:
1)E = 0,5 В
м
2)E = 0,003 В
м
3)E = 0,01В
м
4)E = 0,4 В
м
5)E = 0,2 В
м