U2 < ^jg£(n-2).

Из опыта известно, что реакция опоры при приземлении прыгу­ на с трамплина превышает вес приблизительно в 5 раз (п = 5). При­ няв путь торможения t = 0,4 м (длина бедра), получим

и2 < 3,4 м/с.

Врасчетах, проведенных в примере 2.3.2, нормальная состав­ ляющая скорости приземления лыжника получается порядка 3 м/с, что удовлетворяет требованиям безопасности приземления.

3.4.Контрольные вопросы

1.В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями относительного и абсолютного движений мате­ риальной точки?

2.Каково условие относительного покоя материальной точки?

3.В каких точках земной поверхности сила тяжести имеет наи­ большее и наименьшее значения?

4.Чем объясняется отклонение падающих тел к востоку?

5.В каком направлении отклоняется тело, брошенное верти­ кально вверх?

Глава 4. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ

МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Механической системой, или системой материальных точек, называется любая совокупность взаимодействующих между собой материальных точек.

Классическим примером механической системы является Сол­ нечная система, состоящая из центрального тела — Солнца и тяго­ теющих к нему планет, комет и других небесных тел, при описании движения которых их можно считать материальными точками. Все тела Солнечной системы являются свободными телами, так как они могут занимать любое положение в пространстве, а орбиты небес­ ных тел определяются силами их взаимодействия.

Другим примером механической системы служит сплошное твердое тело (деформируемое или абсолютно твердое), которое представляют как континуум материальных точек. Твердое тело — система несвободных материальных точек, на которые наложены связи, определяющие их положение в теле.

И, наконец, любая конструкция, механизм или машина пред­ ставляют собой механическую систему, состоящую из связанных между собой твердых тел. Следует обратить внимание, что механи­ ческой системой является любая совокупность материальных то­ чек. Выбор этой совокупности определяется задачей, стоящей пе­ ред исследователем.

4.1. Классификация сил

Все силы можно разделить на заданные, или активные, силы и реакции связей, что было предметом изучения в статике. Незави­ симо от этой классификации все силы, действующие на данную ме­ ханическую систему, делятся на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, действующие на материальные точки данной системы со стороны других тел, не входящих в эту систему. Для системы, состоящей из п материальных точек, внеш­ ние силы обозначим Fxe,F2e,...,F„e

Внутренними называются силы взаимодействия между матери­ альными точками данной системы. Их обозначим Fx , F i,... yFnl.

Если, например, в качестве механической системы рассмотреть абсолютно твердое тело, то все силы взаимодействия между частя­ ми этого тела, определяющие его сплошность, являются внутренни­ ми силами.

4.1.1. Свойства внутренних сил

1. Геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих на точки данной системы, равна нулю:

к= 1

Доказательство этого свойства достаточно очевидно. По 3-му за­ кону Ньютона две материальные точки взаимодействуют с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противопо­ ложные стороны. При геометрическом сложении эти силы дают нуль. Поскольку все внутренние силы, действующие на данную систему, входят попарно, то после их сложения получается равенство (4.1).

2. Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил отно­ сительно некоторого центра равна нулю:

Это свойство следует из того, что векторы — моменты сил взаимодействия двух точек равны численно (плечи сил одинаковы) и направлены в противоположные стороны. При сложении они так­ же дают нуль.

Рассмотренные свойства внутренних сил позволяют сущест­ венно упрощать теоремы динамики механической системы. Перед формулировкой этих теорем обсудим инерционно-геометрические характеристики механической системы.

где Р — вес тела. Центр тяжести совпадает с центром масс системы, однако понятие центра масс является более общим, оно не зависит от наличия или отсутствия силовых полей.

4.3. Момент инерции тела относительно оси

Некоторую дополнительную информацию о распределении масс механической системы, важную при изучении динамики вра­ щательного движения, дает понятие осевого момента инерции сис­ темы, зависящего от расстояний точек системы до оси.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери­ альных точек, и произвольную ось Oz (рис. 4.2).

Момент инерции системы относительно оси равен сумме произ­ ведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний от оси:

Эта формула приближенно определяет осевой момент твердого тела, если его разбить на достаточно большое число п частей и счи­ тать каждую часть материальной точкой. Точная формула получа­ ется в пределе при п —> оо (тк = Атк —►0):