j2
—Mu о = —Mgs sin a,
4
Для составления дифференциального уравнения движения цен тра масс катка удобнее воспользоваться теоремой (11.6), в которой вновь учтем только силу Р,
( 11. 11)
По определению мощность
N р = Р •о с = —Mgoc sin a.
Продифференцируем по времени выражение для кинетической энергии (11.9):
и все это подставим в (11.11):
— дифференциальное уравнение движения центра масс.
11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
Известно, что специально подготовленные люди (каскадеры, артисты цирка) могут спрыгнуть с большой высоты (10 м и выше) и приземлиться, избежав травм. Оценить, какие перегрузки испы тывает человек, прыгнувший с высоты Я (рис. 11.3).
Решение. Сначала уточним условие. Пусть Я — начальная вы сота над поверхностью центра масс человека. Перед прыжком чело век находился в покое.
\R
Р
0,6L
Е
Рис. 11.3
Рассмотрим простейшую модель человека в виде материальной точки с массой, равной массе человека и расположенной в центре масс. В фазе свободного падения на точку действует только сила тя жести Р (при Н ~ 10 м максимальная сила сопротивления воздуха может достигнуть 0,05Р и при более точных расчетах ее надо учи тывать). В фазе приземления на точку действует также сила сопро тивления невесомых ног R .
Пусть центр масс С тормозится на отрезке С0С* (см. рис. 11.3). Торможение начинается на высоте, составляющей К % от роста че ловека, а полная остановка центра масс происходит на расстоянии h от поверхности. Применим теорему об изменении кинетической энергии (11.7) на конечном перемещении от начала прыжка (Г0 = 0) до полной остановки (Г= 0):
0 — Ар + Ал ,
0 = Р(Н - Л)—/?ср(АГ 1/100 - h),
где L — рост человека.
Приведенные соотношения дают среднее значение силы сопро тивления
При прыжке с большой высоты человек сначала приземляется на ноги, а затем перекатывается на спине или падает вперед на руки. Можно принять, что h = 0,2 м. П ри Я = 10 м, L = 1,7 м, К= 60 % по лучим Rep= 12Р.
Человек испытывает на протяжении всего пути торможения 12-кратную перегрузку. В случае линейной зависимости R от рас стояния (пример 2.3.2) максимальное значение R в 2 раза больше среднего. При нелинейной зависимости, например экспоненциаль ной, максимальные перегрузки должны получиться еще больше. Однако если учесть диссипацию энергии в теле человека, то значе ния R снизятся. Полное решение задачи приземления требует ин формации о свойствах тканей человеческого тела и механизмах управления мышцами.
Но даже исходя из приближенного решения можно указать на факторы, уменьшающие перегрузку при приземлении. В начале прыжка необходимо понизить положение центра масс. К моменту касания поверхности центр масс должен занимать как можно более высокое положение (поднять вверх руки, использовать обувь на толстой подошве и т. п.). В конце торможения центр масс должен быть максимально приближен к поверхности. И наконец, важную роль играют упругопластические свойства материала, на который происходит приземление.
11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
Рассмотрим движение механической системы относительно подвижной системы координат, движущейся поступательно с уско рением асвместе с центром масс механической системы (рис. 11.4).
На к-ю точку системы действует внешняя сила Fk и внутрен няя сила Fk . Так как подвижная система неинерциональна, то к этим силам надо условно добавить переносную и кориолисову силы инерции. Переносная сила инерции F™ = —ткаА = —ткас,
поскольку во всех точках подвижной системы переносное ускоре ние аА = ас по свойствам поступательное движение. Кориолисова сила инерции равна 0, так как переносная угловая скорость со е = 0 (см. (3.2)).
По сравнению с (11.1) в теорему об изменении кинетической энергии к-й точки системы в относительном движении войдет так же мощность переносной силы инерции:
d_ т . j i |
+ № + Л " Щ , к = 1, и. (11.12) |
= |
|
dt |
|
где и * — относительная скорость точки. При суммировании по всем точкам системы последнее слагаемое обращается в нуль:
|
= - а с Y тк\5к = - а с ■Ш 'с = О, |
*=1 |
*=1 |
где Ос — скорость центра масс в подвижной системе Cx'/z'. С уче том этого при суммировании уравнений (11.12) для всех точек сис темы получим теорему в том же виде, как и в неподвижной системе отсчета (11.2),
dT' |
£ И ) |
+ Е И |
(11.13) |
|
dt |
||||
*=1 |
*=1 |
|
На конечном относительном перемещении системы теорема имеет такой же вид, как (11.3),
г'-г»=2(^0 +ЁИ ) |
(и-14) |
*=i 7
Таким образом, в относительном перемещении механической системы по отношению к системе координат, связанной с центром масс и движущейся поступательно, теоремы об изменении кинети ческой энергии записываются так же, как и в неподвижной системе координат.
В заключение рассмотрим примеры, для решения каждого из ко торых требуется применение нескольких общих теорем динамики.
11.6. Пример. Вращение гимнаста на перекладине
Определить реакцию перекладины, действующей на руки гим наста при прохождении им наинизшего положения, если он начина ет вращение из вертикальной стойки на руках (рис. 11.5) с ничтож но малой угловой скоростью. Масса гимнаста М, радиус инерции относительно перекладины рин, расстояние от центра масс до пере кладины L Все указанные величины считать константами.
Решение. Рассмотрим гимнаста как абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О (см. рис. 11.5). Связь — идеальный цилиндрический шарнир. При произвольном положении гимнаста на него действуют сила тяжести Р и составляющие Х 0, У0 реакции цилиндрического шарнира.
По теореме о движении центра масс (7.1)
Мас = Р + Х о + У0, |
(11.15) |
|
Мах + Мап = Р + X о + Уо . |
||
|
||
Из уравнений проекций на оси получим |
|
|
Х 0 = —Мах cosq> + Мапsinф, |
|
|
У0 —Р — Мах sinср —Мапcoscp, |
(11.16) |
|
az = г£,ап = со2 £. |
|
Для нахождения^ и У0 необходимо знать угловую скорость те ла со и угловое ускорение е, которые мы определим для произволь ного положения гимнаста по теореме об изменении кинетической энергии в конечной форме (11.7), причем будем учитывать только внешние активные силы:
Т — То = Ар,
Подставляя сюда
^ = |
’ *^° ^ ^Црин> Т0 = 0, Ар = Mgh = Mg£(l —coscp), |
|
получим, что |
|
|
|
0)2 = ¥ ( 1_C0S<P)- |
(П.17) |
|
Рни |
|
Продифференцируем (o2(t) по времени:
-^-(co2(<Y) = 2са— = ^^sincpto
(/Л У)> |
dt p i |
и найдем угловое ускорение е = dot/dt:
e = -^-sin<p. |
(11.18) |
Рин
Из (11.17) и (И-18) найдем со и е при ср = 180°, что соответству ет нижнему положению гимнаста:
©2 = ^ , е = 0. |
(11.19) |
РИ1
Подставив в(11.16)ф = 180° и (11.19), получим ответ:
* о = 0 ,
г |
2 > |
(11.20) |
Y0 Mg 1 + 4 е | |
|
|
|
„Р и н , > |
|
В частности, при р т = I реакция опоры У0 = 5 Mg. Нагрузка на руки в 5 раз превышает вес гимнаста.
По данным работы [14], в среднем расстояние от центра масс гимнаста до оси вращения i — 1,2 м, а момент инерции относитель но фронтальной оси, проходящей через центр масс, Jc= \l кг-м\ По теореме Штейнера (4.19) J 0 = J C+ M i1. Это позволяет вычислить радиус инерции гимнаста:
П риМ = 70 кг получим, что Рин — 1,3 м. Тогда из (11.20) найдем реакцию перекладины:
Yo=4AMg.
Заметим, что в приведенных расчетах не учтены упругие свой ства человеческого тела и перекладины.
11.7. Пример. Потеря кинетической энергии бегущего человека
Человек массой 2т бежит по горизонтальной прямой со скоро стью и (рис. 11.6). Неожиданно он запинается о невысокое препят ствие, и его стопа останавливается. Пренебрегая отклонением чело века от вертикали, определить потерю кинетической энергии при торможении. Рассмотреть две модели человека (рис. 11.7 и 11.8):
А. Однородный прямолинейный стержень.
Б. Два однородных прямолинейных стержня, сочлененных иде альным шарниром.
Решение. При решении задачи принимаются допущения тео рии удара — за время удара учитываются только ударные силы, ко торые изменяют скорости точек системы на конечные величины, а перемещения точек считаются пренебрежимо малыми. Последнее
К 02 —Уг<в = j2 w ( 2 ^ 2a). Приравнивая кинетические моменты до
и после столкновения, получим угловую скорость
00 = |
3 и |
|
(11.21) |
---- . |
|
||
|
4 е |
|
|
Потеря кинетической энергии равна разности кинетических |
|||
энергий до и после удара: |
|
|
|
АТ = Т0 - T = -2 m -\)2 - - J o , -со2 = - о т и 2. |
(11.22) |
||
2 |
2 |
4 |
|
Б. После столкновения нижний стержень будет вращаться во круг оси Oz, а верхний стержень совершать плоскопараллельное движение. Сформулируем два условия сохранения кинетического момента:
1. Сохранение кинетического момента всей системы относи тельно неподвижной оси Oz.
2. Сохранение кинетического момента верхнего стержня отно сительно неподвижной оси Cz{(см. рис. 11.8).
В первом случае условия действия сил такие же, как в модели А . Во втором ударная реакция нижнего стержня F2 момента относи тельно оси Cz\ не создает.
Обозначим угловые скорости стержней после удара через шiи to2. Кинетический момент нижнего стержня после удара найдем по формуле (8.15) для вращающегося тела, а верхнего — по теореме Кёнига (8.20) и запишем равенство кинетических моментов до и по сле удара для системы в целом:
2m\)t = J\<xi\ -t-mUcj — £ + ./„<02. |
|
|
1 |
£ |
1 |
Подставляя сюда У, —- m l 1, о 0 = 1(й\ |
+ —<о2, Уо = — m l1, |
|
3 |
2 |
12 |
после преобразования получим уравнение |
|
|
Поз, +5со2 = 12— |
|
(11.23) |
Для верхнего стержня
лютно жесткий. В момент касания шестом поверхности земли прыгун поднимает ноги вверх и поднимается в воздух, держась за шест. Какой должна быть минимальная горизонтальная скорость прыгуна, чтобы он мог поставить шест в вертикальное положение (рис. 11.9)?
Решение. Количество движения спортсмена и шеста перед ка санием шестом поверхности в точке О равно /ии0. Это количество движения не сохраняется во время удара вследствие действия сил реакции опоры в точке О. Однако момент количества движения от носительно точки О остается постоянным. Предполагая, что масса атлета сосредоточена в точке на расстоянии d от точки О, а шест не весом, условие сохранения момента количества движения приводит к следующему выражению:
|
mv0h=mvid, |
(11.27) |
|
отсюда |
u x= vQh/d, |
||
|
в котором t>i — скорость спортсмена сразу после отталкивания. При выводе этого уравнения мы предположили, что скорость спортсме на сразу после отталкивания действует по нормали к шесту, как по казано на рисунке 11.9.
Выражение (11.27) показывает, что отталкивание спортсмена от земли ведет к снижению скорости с и 0 до о 0 hjd. Таким образом, отношение кинетической энергии до отталкивания и после отталки вания равно (h /d y . Для й = 0 , 9 м и ^ = 2 м примерно 80 % кинети
ческой энергии прыгуна рассеивается во время отталкивания. Рассмотрим сохранение энергии между двумя моментами вре
мени — моментом txсразу после отталкивания и моментом t2, когда шест примет вертикальное положение.
7"i+n,=(l/2)/w(o 0h/’rf)2 +mgh. |
(11.28) |
Ti+Tl^O+mgd. (11.29)
Приравнивая выражение для энергии в моменты времени txи t2, придем к следующему соотношению между начальной скоростью прыгуна и вертикальным расстоянием, которое пройдет его центр масс при использовании шеста:
vl= 2g(d/h)2( d - h ) . |
(11.30) |