- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- •1.1. Введение
- •1.3. Основные законы динамики точки
- •1.3.1. Закон инерции
- •1.3.2. Основной закон динамики
- •1.3.3. Закон равенства действия и противодействия
- •1.3.4. Закон независимости действия сил
- •1.4. Контрольные вопросы
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •2.2. Две задачи динамики
- •2.2.1. Первая задача динамики
- •2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3.2. Относительный покой
- •3.2.1. Пример. Центробежный регулятор
- •3.3. Принцип относительности Галилея
- •3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина
- •3.4. Контрольные вопросы
- •4.1. Классификация сил
- •4.1.1. Свойства внутренних сил
- •4.2. Масса. Центр масс системы
- •4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
- •4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
- •4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
- •4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
- •5.3. Общие теоремы динамики системы
- •5.4. Контрольные вопросы
- •6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
- •6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
- •6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
- •6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
- •6.4. Контрольные вопросы
- •Глава 7ЛЕ0РЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
- •7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс
- •7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности
- •7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс
- •7.2.1. Пример. Человек на лодке
- •7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека
- •7.4. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
- •8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении
- •8.3.1. Пример. Кинетический момент человека
- •8.4. Контрольные вопросы
- •9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
- •9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
- •9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
- •9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
- •9.6. Контрольные вопросы
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях
- •10.1.1. Поступательное движение твердого тела
- •10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы
- •10.3. Общий случай движения свободного твердого тела
- •А = J Fxds.
- •10.6. Примеры вычисления работы
- •10.6.1. Работа силы тяжести
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
- •11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
- •11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
- •11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
- •11.9. Контрольные вопросы
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Глава 9. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Эти теоремы рассмотрены в обзорной главе 5. Повторим все выводы в более детальном изложении и добавим полные формули ровки теорем. Начнем с описания движения материальной точки.
9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
В основе вывода теорем лежит II закон Ньютона:
т
Л
Чтобы в левой части уравнения перейти к производной от мо мента количества движения г х /пи, умножим обе части равенства на радиус-вектор точки F:
г х т— — г xF . |
(9.1) |
dt |
|
Оказывается, что функцию г (t) можно внести в (9.1) под знак производной. Докажем это.
(9.2)
Первое слагаемое в правой части равенства обращается в нуль, и с учетом (9.2) уравнение (9.1) примет вид
dt
или
ТЕОРЕМА. Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра равна моменту относительно того же центра приложенной к ней силы.
Запишем (9.3) в проекции на ось z с учетом связи между момен тами (8.6):
^ [ m z{rm5)] = mt (F). |
(9.4) |
ТЕОРЕМА. Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно оси равна моменту от носительно той же оси приложенной к ней силы.
9.2. Теоремы о кинетическом моменте системы относительно центра и оси
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери альных точек. Положение произвольной точки системы массы тк определяется радиусом-вектором гк, ее скорость равна и* и на нее действуют внешняя i v и внутрен
няя Fk силы (рис. 9.1).
Запишем теоремы вида (9.3)
о моменте |
количества движения |
|
для всех точек механической сис |
||
темы: |
|
|
|
и*)] = |
|
= от0 |
+ |
то (Fk )> |
Рис. 9.1 |
к = 1, |
п |
и просуммируем по всем точкам системы. Знак производной вынесем из-под знака суммы:
j J 2 M mi‘'5k )= J 2 ш°(F«e) + Е шо (Fk‘)
ai к--А |
к=1 |
к=1 |
и, используя свойство внутренних сил (4.2) и определение кинети ческого момента (8.10), получим уравнение
^at = к=\ |
(9.5) |
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен та системы относительно неподвижного центра равна геометриче ской сумме моментов относительно этого же центра всех действую щих на систему внешних сил.
Так же, как и в теореме о количестве движения системы (6.9), изменение со временем К 0 явно связано только с действием внеш
них сил. Внутренние силы на кинетический момент могут влиять лишь косвенно.
Для получения теоремы в координатной форме обе части ра венства (9.5) спроектируем на одну из координатных осей и учтем, что проекция момента относительно центра на ось равна моменту относительно оси (8.11):
^ т
ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен та системы относительно неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов относительно той же оси всех действующих на систему внешних сил.
Теоремы (9.5) и (9.6)— теоремы о кинетическом моменте меха нической системы относительно центра и оси — записаны в диффе ренциальной форме. В конечной форме эти теоремы применяются лишь в теории удара [22].
Условия сохранения кинетического момента относительно центра и оси получаются из (9.5) и (9.6) в частных случаях действия внешних сил:
1. Если геометрическая сумма моментов всех внешних сил от носительно неподвижного центра равна нулю, то кинетический мо мент системы относительно этого центра сохраняется,
п |
_ |
_ |
|
У2 щ (Fk ) = 0=> — - = 0 =Ф К 0 = const. |
(9.7) |
||
Ы1 |
|
dt |
|
2. Если алгебраическая сумма моментов всех внешних сил от носительно неподвижной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси сохраняется,
iT m J F le) = 0 = > ^ = 0=>Kz = const. |
(9.8) |
|
м К ' |
'Л |
|
Указанные свойства механических систем проявляются во мно гих явлениях природы, техники, в частности, в биомеханике. Если при вращении деформируемого твердого тела, угловая скорость ко торого является общей характеристикой точек тела, кинетический момент относительно неподвижной оси сохраняется, то с учетом (8.15) сохранение К2может быть записано в виде
J ziв = const, |
(9.9) |
где J2— момент инерции тела, ю — его угловая скорость.
Изменяя осевой момент инерции, управляют угловой скоростью фигуристы, гимнасты, прыгуны в воду. Закон сохранения Кгпроявля ется при толкании ядра, метании диска и в других видах спорта.
9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
Оценить угловую скорость фигуриста после завершения трой ного прыжка при высоте прыжка 0,5 м (рис. 9.2).
Решение. Сначала оценим угловую скорость фигуриста в основной фазе прыж ка. Мы предполагаем, что фигурист перед отрывом ото льда минимизирует момент инерции и сразу после приземления увели чивает его. Таким образом, в фазе прыжка угловая скорость фигуриста считается по стоянной (пренебрегаем силами сопротив ления) и ее легко найти. Время взлета и сво бодного падения в поле потенциальных сил одинаково, и суммарное время прыжка Т найдем из уравнения свободного падения:
h = \ s t 2,