О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

ТЕОРЕМА. Произведение массы системы на ускорение движе­ ния ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Если сравнить (7.1) со II законом Ньютона

та = F,

то можно сказать, что центр масс системы движется как материаль­ ная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил.

Спроектируем левую и правую части (7.1) на оси прямоуголь­ ной декартовой системы координат и получим аналогичные (2.2) дифференциальные уравнения движения центра масс:

где xCi ус, zc— координаты центра масс, а точки над ними обознача­ ют дифференцирование по времени.

Теорема о движении центра масс имеет весьма широкое приме­ нение в механике. Во многих задачах нет необходимости знать дви­ жение каждой точки системы, а важно в первую очередь определить движение ее центра масс, как, например, при рассмотрении полета спортивных снарядов, прыжка на лыжах, запуска ракеты и т. д. В ряде случаев теорема о движении центра масс позволяет найти движение отдельных точек системы, не решая их дифференциаль­ ных уравнений движения. Применяется эта теорема и при определе­ нии опорных реакций, в частности, при ходьбе человека.

7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс

Уравнения (7.1) и (7.2) позволяют сформулировать условия дей­ ствия сил, при которых скорость движения центра масс сохраняется.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то скорость движения ее центра масс со­ храняется:

к=1

2. Если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости движения центра масс системы на эту ось сохраняется:

п

к=1

7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности

Рассмотреть качественно поведение человека на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности.

Решение. На человека действуют внешние силы: сила тяжести и реакция гладкой поверхности, которые направлены по вертикали, что соответствует случаю (7.4). Если в начальный момент времени человек находился в покое, то о сг = 0 и для последующих моментов времени. Центр масс человека по оси х не перемещается при любых усилиях человека. Если, например, человек вынесет вперед левую ногу, чтобы сделать шаг, то правая опорная нога будет проскальзы­ вать назад ровно на столько, чтобы центр масс не сместился в гори­ зонтальном направлении.

При наличии даже малейшего трения о поверхность условие сохранения о с* уже не выполняется и центр масс может получить горизонтальное ускорение за счет силы трения. Однако чем меньше сила трения, тем медленнее человек должен идти для обеспечения сцепления с поверхностью (см. пример 7.3.1).

7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс

Пусть сумма проекций внешних сил на ось х равна нулю:

Ё« =о

*=1

и выполняется начальное условие

В этом случае по условию (7.4) и с* = const, а из начального ус­ ловия (7.5) следует, что

U cx=0

для любого момента времени. За любой конечный промежуток вре­ мени At перемещение центра масс по оси х будет равно нулю:

Ахс = 0.

Эта формула в соответствии с (4.4) может быть записана в виде

Заметим, что если начальное условие (7.5) не выполняется, то условие (7.6) выполняется в подвижной системе Cx'y'z\ движущей­ ся поступательно вместе с центром масс, поскольку в этой системе

7.2.1. Пример. Человек на лодке

Человек массой тхпроходит по лодке массой т2расстояние L. Определить перемещение лодки, пренебрегая сопротивлением во­ ды. Найти также перемещение лодки при обратном движении чело­ века (рис. 7.1).

Решение. На систему, состоящую из человека и лодки, действу­ ют внешние силы: их силы тяжести Pi иР2, а также выталкивающая сила воды Q. Запишем теорему о движении центра масс (7.1):

Проектируя левую и правую части (7.8) на ось х, получим аа = 0. Если принять, что начальная скорость человека и лодки рав­ на нулю, то справедливо условие (7.6), которое для системы двух тел запишется в виде

где Дх2 — искомое перемещение лодки, a Axt — абсолютное переме­ щение человека (по отношению к воде). Последнее складывается из перемещения человека вместе с лодкой (переносное движение) и по отношению к лодке:

Из (7.9) и (7.10) получим, что перемещение лодки

Ш\ + т 2

Лодка перемещается противоположно относительному движе­ нию человека. Подставляя (7.11) в (7.10), найдем также абсолютное перемещение человека:

Интересны предельные случаи очень тяжелой и очень легкой лодки:

В первом случае лодка остается в покое, а во втором— на месте по отношению к воде остается человек.

Из (7.9) следует, что абсолютные перемещения человека и лод­ ки обратно пропорциональны их массам:

что может быть получено также с учетом 1П закона Ньютона (дейст­ вие равно противодействию).

И, наконец, рассмотрим обратный переход человека. Изменит­

что приведет к изменению знаков в результатах (7.11) и (7.12). Оба тела возвратятся в свои первоначальные положения.

7.3. Определение реакций связей по теореме о движении центра масс

Рассмотренные выше примеры относятся, по сути, к частным случаям 2-й задачи динамики — по заданным силам и некоторым сведениям о движении точек механической системы достаточно полно исследовались их перемещения. Перейдем к решению 1-й за­ дачи динамики, обратной по отношению ко 2-й.

Рассмотрим одно из дифференциальных уравнений движения