- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- •1.1. Введение
- •1.3. Основные законы динамики точки
- •1.3.1. Закон инерции
- •1.3.2. Основной закон динамики
- •1.3.3. Закон равенства действия и противодействия
- •1.3.4. Закон независимости действия сил
- •1.4. Контрольные вопросы
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •2.2. Две задачи динамики
- •2.2.1. Первая задача динамики
- •2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3.2. Относительный покой
- •3.2.1. Пример. Центробежный регулятор
- •3.3. Принцип относительности Галилея
- •3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина
- •3.4. Контрольные вопросы
- •4.1. Классификация сил
- •4.1.1. Свойства внутренних сил
- •4.2. Масса. Центр масс системы
- •4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
- •4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
- •4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
- •4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
- •5.3. Общие теоремы динамики системы
- •5.4. Контрольные вопросы
- •6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
- •6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
- •6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
- •6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
- •6.4. Контрольные вопросы
- •Глава 7ЛЕ0РЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
- •7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс
- •7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности
- •7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс
- •7.2.1. Пример. Человек на лодке
- •7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека
- •7.4. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
- •8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении
- •8.3.1. Пример. Кинетический момент человека
- •8.4. Контрольные вопросы
- •9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
- •9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
- •9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
- •9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
- •9.6. Контрольные вопросы
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях
- •10.1.1. Поступательное движение твердого тела
- •10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы
- •10.3. Общий случай движения свободного твердого тела
- •А = J Fxds.
- •10.6. Примеры вычисления работы
- •10.6.1. Работа силы тяжести
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
- •11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
- •11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
- •11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
- •11.9. Контрольные вопросы
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
А = J Fxds. |
(10.18) |
( М 0 М ) |
|
Работа на конечном перемещении равна криволинейному инте гралу от элементарной работы по этому перемещению.
Криволинейный интеграл сводится к определенному в двух случаях:
1. Известна зависимость FTот криволинейной координаты s:
s |
|
А = jF ,(s)d s. |
(10.19) |
So |
|
2. Известна зависимость/? и скорости точки приложения силы
от времени t:
t
A = j F z(t)o(t)dl. |
(10.20) |
to |
|
В(10.20) учтено определение численного значения скорости
о= ds/dt.
Мощность характеризует быстроту совершения работы. Она равна отношению элементарной работы к элементарному проме жутку времени:
N = — . |
(10.21) |
dt |
|
Если сюда подставить dA из (10.15) и учесть, что dr/dt = о, то получится формула
N = F -\5 . |
(10.22) |
Мощность равна скалярному произведению двух векторов: вектора силы и вектора скорости точки приложения силы. По опре делению скалярного произведения
N = F и cos а, |
(10.23) |
N =Fxu x + F yu у + F zv z. |
(10.24) |
Единицами измерения работы и мощности в системе СИ являют ся соответственно джоуль и ватт, производные от основных единиц:
1 Дж = 1 Нм,
1 Вт = 1 Н-м/с.
10.6.Примеры вычисления работы
10.6.1.Работа силы тяжести
Пусть материальная точка веса Р переместилась в однородном
поле |
сил тяжести |
из точки |
MQ(x0, y0,z 0) в точку М(х, у, г) |
(рис. |
10.4). |
|
|
Воспользуемся |
аналитиче |
||
ским |
выражением элементарной |
||
работы (10.16) и |
учтем, |
что |
|
Рх =Ру = 0, Рг = -Р:
dA = P2dz = —Pdz.
Работа на конечном переме щении в этом случае находится как определенный интеграл:
Z
A = - P j dz = P(z0 - z),
(10.25)
A= ±P h.
Работа силы тяжести матери альной точки равна произведению веса точки на ее вертикальное
перемещение. Работа положительна, если точка перемещается вниз, отрицательна— при перемещении вверх. Заметим, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории точки приложения силы, а определяется ее начальным и конечным положением. Такие силы называются потенциальными.
Для них элементарная работа является полным дифференциа лом от некоторой функции, называемой силовой,
dA = d(-mgz). |
(10.26) |
Для твердого тела силы тяжести всех его частиц можно заме нить одной силой — равнодействующей, приложенной в центре тя жести тела. Тогда полная работа сил тяжести
A = ±Phc, |
(10.27) |
где Р — вес тела,
hc— вертикальное перемещение его центра тяжести.
10.6.2. Работа упругой силы
Рассмотрим частный случай перемещения по прямой линии точки приложения упругой силы (рис. 10.5).
i |
< |
< |
v V |
V V V |
о |
lb, |
X
Я77777777777777777777777777777777. sssssssssssss* |
|
X m |
|
Рис. 10.5 |
|
Работа на конечном перемещении |
|
A = f F xdx, |
(10.28) |
*0 |
|
где Fx — проекция силы упругости пружины на ось х. При линей но-упругих деформациях Fx = —сх (при х = 0 пружина недеформирована),
А = 1 ( х20 - х >), |
(10.29) |
где с — коэффициент жесткости пружины, JC0, х — абсолютные де формации пружины в начале и конце перемещения.
10.63.Работа и мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
На рис. 10.6 изображена траектория точки приложения силы — окружность радиуса А.
Найдем работу силы при элементарном повороте тела по фор муле (10.13):
dA=Fxds = Fxhd(p.
Так как радиальная составляющая силы и составляющая, па раллельная оси, момента относительно оси z не создают, то
mz(F) M2(Fx) — Fxh> |
(10-30) |
dA = m2(F)dip. |
|
Элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна моменту силы относи тельно оси вращения, умножен ному на элементарный угол пово рота тела. Если знаки момента и элементарного поворота совпа дают, то работа положительна.
Работа на конечном повороте
А = J m z(F)d(f>. (10.31)
(ф)
Мощность силы |
|
Рис. 10.6 |
|
|
|
dt |
v ' |
dt |
N = mz(F^ja. |
(10.32) |
|
Мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела.
10.6.4. Работа силы, приложенной к телу, совершающему плоскопараллельное движение
Рассмотрим cHJiyF, приложен ную в точке А плоской фигуры, движущейся в неподвижной плос кости Оху. Центр масс тела лежит в этой же плоскости (рис. 10.7). Счи тая тело абсолютно твердым, вос пользуемся леммой о параллель ном переносе силы. Силу F_ заме ним такой же силой F '= F , приложенной в центре массой па рой сил с моментом т = mc(F).
Свяжем с центром масс систе му координат Cx'y'z', которая дви
жется поступательно со скоростью о с . По отношению к этой систе ме плоская фигура вращается вокруг оси Cz' с угловой скоростью со.
Сила/ 1' совершает работу только на поступательном движении, так как ее момент относитсльно.точки С равен нулю, а пара сил— на вращательном движении. Действие этой силы и пары эквивалентно действию силы./7, и поэтому элементарная работа силы./7
dA = F \5cdt + mcz'(F^<i>dt. |
(10.33) |
В качестве полюса можно взять любую точку тела. Если за по люс принять точку приложения силы, то в (10.33) останется только первое слагаемое
dA= F -\5Adt.
10.7. Пример. Энергозатраты при ходьбе человека
Определить энергозатраты при ходьбе человека, считая его движение и масс-геометрические характеристики известными. Рас смотреть плоскую семизвенную модель человека (рис. 10.8).
Принято считать, что энергозатраты связаны в основном с ра ботой мышц, связывающих сегменты тела человека и создающих моменты (см. рис. 10.8). Тогда энергозатраты на одном шаге опре деляются по формуле
4 = ^ E |
f m*(0<t>*(0dt, |
(10.34) |
*=1 |
о |
|
где х — период ходьбы, п — число исследуемых суставов (в нашей модели п = 6: по
2 тазобедренных, коленных и голеностопных сустава),
(ок — относительная угловая скорость смежных сегментов тела. По условию задачи функции (ok(t) считаются заданными, a milt) надо определить, решая обратную задачу ходьбы. Качествен
но опишем решение этой задачи. Рассмотрим плоскопараллельное движение сегментов тела человека. Для каждого звена можно соста вить 3 дифференциальных уравнения (9.20). В число внешних сил в каждом звене войдет его сила тяжести, реакции сочлененных с ним звеньев (в каждом суставе две составляющие реакции и иско
мый момент мышц — всего 3 неиз |
||
вестные величины). В представ |
||
ленной модели с шестью суставами |
||
число неизвестных сил и моментов |
||
будет равно 21 = 6 х 3 + 3 (к внут |
||
ренним силам добавляются внеш |
||
ние реакции — сила прения |
||
нормальная реакция N |
и момент |
|
опорной поверхности М). Таким же |
||
будет число и дифференциальных |
||
уравнений — по 3 уравнения для |
||
каждого из 7 звеньев. В уравнения |
||
вида (9.20) войдут известные коор |
||
динаты |
центров масс |
сегментов |
Xek(t),yCk(t) и углы их |
поворота |
|
в неподвижной системе координат |
||
фk(t), где к = 1, 7. Еще раз отме |
||
тим, что в (10.34) входят относи |
||
тельные угловые скорости, опреде |
||
ляемые разностями ф*(0 в сосед |
||
них |
сегментах. |
После |
дифференцирования |
указанных |
|
функций получается система 21 алгебраического уравнения, разре шаемая относительно неизвестных сил.
Более рациональным является метод составления уравнений Лагранжа II рода [26], число которых равно числу степеней свободы системы.
Обычно затраты энергии при ходьбе оценивают в относитель ных величинах: делят работу (10.34) на вес человека и длину его ша га. Безразмерные энергозатраты Е* = По данным, приве
денным в работе [13], экспериментальные замеры дают значение Е * = 0,2. Так, при т = 70 кг, L = 0,75 м энергозатраты А человека при обычной ходьбе составляют в среднем на одном шаге 103 Дж. Считается, что человек в день делает 104 шагов. Если перевести энергозатраты на ходьбу в килокалории (1 ккал = 4,18 кДж), то по