Радиус инерции равен расстоянию, на котором от оси надо по­ местить материальную точку с массой, равной массе тела, чтобы моменты инерции точки и тела совпали:

где Jz— осевой момент инерции тела.

Обычно радиус инерции находят у моделей деталей сложной формы, а затем, зная массу детали М, по формуле (4.15) вычисляют

ееосевой момент инерции Jz.

4.4.Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей

Теорема устанавливает связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей, одна из которых должна прохо­ дить через центр масс тела. Найдем момент инерции относительно оси Oz\ отстоящей на расстояние d от параллельной ей оси Cz, про­ ходящей через центр масс тела (рис. 4.6). Масса тела М и момент инерции J 2 заданы.

Разобьем тело на большое число и малых элементов, считая их материальными точками. Рассмотрим произвольный элемент^*, отстоящий от оси O f на расстояние h[ (см. рис. 4.6). Тогда в соот­

ветствии с (4.7)

где хк и у к — координаты точки Ак в системе координат Ox!y'z!, ко­

торая сдвинута относительно центральной системы координат Cxyz на расстояние d по оси х. Запишем связь между координатами как

х'к = х к - d,

(4.18)

Ук=Ук-

Подставив (4.18) в (4.17) и сделав некоторые преобразования, получим

J z '= Y ^ m k(xl + у Л2 -

Первое слагаемое дает мо­ мент инерции относительно OCHZ,

так как х\ + у\ = А*2, во 2-м сла-

п

гаемом ^2,ткхк = Мхс = 0, в 3-м

*=i

п

У2тк = М. Окончательно имеем *=i

J z, = J Z + Md 2 (4.19)

ТЕОРЕМА. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и про­ ходящей через центр масс, сложенному с произведением массы те­ ла на квадрат расстояния между осями.

Теорема Штейнера показывает, что для любого семейства па­ раллельных осей момент инерции тела относительно оси, проходя­ щей через его центр масс, будет минимальным.

УZ

Для примера найдем момент инерции стержня относительно центральной оси Cz, зная из (4.12), что J z>= M l}/Ъ (рис. 4.7):

4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра

Найдем моменты инерции однородного круглого диска массой М и радиусом R относительно осей Ох и Оу: J x = J y =J=> (рис. 4.9). По связи моментов инерции (4.24) относительно центра и осей имеем

2У0 = 2 J + J Z.

4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра

Сначала определим момент инерции шара массой М и радиу­ сом R относительно центра О. Выделим в шаре шаровой слой ра­ диусом г и толщиной dr (рис. 4.10) и примем его за элементарный объем dv = 4nr2dr.

Момент инерции J 0 найдем по формуле, аналогичной (4.9),

J 0 = — Г r 2dv = ——— Г r 24nr2dr,

Найдем осевые моменты инерции: У, = Уу = У* = У = ?

Из (4.24) следует, что 2У0 = ЗУ, подставляя сюда (4.27), найдем

(4.28)

4.5.3. Пример. Момент инерции сплошного цилиндра

В биомеханике части тела человека (туловище, бедро и др.) иногда рассматриваются как сплошные однородные круглые ци­ линдры. Найдем моменты инерции цилиндра массой М, радиу­ сом R, высотой Н относительно осей Ох и Оу, проходящих через центр масс О перпендикулярно оси симметрии Oz (рис. 4.11).

J X — J у — J — Ч

Из 3-го уравнения (4.25) най­

дем J QXZ = J o y i= - J I и подста-

2

вим в 1-е уравнение (4.25):

Ух ~ —Уz "ЬУ0ху

По (4.14) J x = Ж 2/ 2, а мо­

мент цилиндра относительно плоскости Оху можно найти так же, как и осевой момент инерции

Рис. 4.11

стержня (4.20):

У<ь,= — М Н 2

У12

Окончательно получим

412

Втабл. 4.1 приведены моменты инерции относительно оси z те­ ла мужчины (М= 70 кг, Н = 1,7 м), определенные эксперименталь­ но и вычисленные по цилиндрической модели [14].

Т а б л и ц а 4.1

Моменты инерции (кг-м2) тела человека (мужчина нормального телосложения Р = 70 кг, Н = 1,7 м)