Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ

Материал главы полезен для первоначального ознакомления с общими теоремами динамики и их повторения после изучения по­ собия. При компактном совместном изложении теорем легче уви­ деть их общность и различия. Рассматриваются теоремы только в дифференциальной форме, но это дает основу для их изучения и в конечной форме, что и делается в главах 6-11. В этих главах ка­ ждая теорема обсуждается в отдельности, причем выводы теорем, приведенные в главе 5, повторяются в более детальном изложении. Важное значение имеет изучение мер движения материальной точ­ ки и системы материальных точек, для которых и строятся общие теоремы динамики.

5.1. Меры движения материальной точки

ее скорость. В истории механики известен период, когда шло сопер­ ничество между сторонниками векторного и скалярного описания движения. Одни доказывали преимущество векторной меры движе­ ния — количества движения ти, другие — скалярной, кинетической энергии тии2/2. Правы оказались обе стороны. Каждая теорема по­ зволяет решать определенный класс задач. Добавилась теорема еще об одной мере движения — моменте количества движения матери­ альной точки г х m\S. Рассмотрим эти меры движения.

Количество движения материальной точки т\5 равно произведе­ нию массы точки на ее скорость. Это векторная мера движения. Она,

относительно центра г хт и равен век­ торному произведению радиуса-векто­ ра точки, проведенного из этого цен­ тра, на количество движения (рис. 5.2). Это также векторная мера движения, направление и модуль которой нахо­ дятся по правилу векторного произве­ дения.

Кинетическая энергия материаль­ ной точки т о 2/2 равна половине произ­

ведения массы точки на квадрат ее скорости. Она является скалярной неотрицательной мерой движения.

5.2.Общие теоремы динамики точки

Вобщих теоремах устанавливается связь между изменением мер движения материальной точки и силой, к ней приложенной.

Воснове вывода теорем находится II закон Ньютона, который запи­ шем в дифференциальной форме:

Л

Преобразуем это уравнение к такому виду, чтобы в левой части стояла производная по времени от меры движения. Тогда в правой части будет ейла или какая-либо характеристика ее действия:

dt

где г х F — момент силы относительно центра, F • о — мощность силы. Это и есть общие теоремы динамики точки в дифференциаль­ ной форме. Покажем их вывод из II закона Ньютона.

отличаясь мерами движения и характеристиками действия силы. Их смысл такой же, как и II закона Ньютона. Они устанавливают связь между движением точки и силой, к ней приложенной.

5.3. Общие теоремы динамики системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери­ альных точек. Произвольная точка системы Акхарактеризуется мас­ сой тк, скоростью о* и радиусом-вектором гк (рис. 5.3). На точку действует сила Fk = Fk + Fk , где Fk внешняя, a Fk внутренняя си­ лы для данной механической системы.

Запишем теоремы (5.2)-(5.4) для к-й точки системы:

dt

к = 1, n.

Каждое из уравнений (5.9)-(5.11) просуммируем по всем точ­ кам системы. С учетом свойств (4.1) и (4.2) внутренних сил, осно­ ванных на III законе Ньютона, и после некоторых преобразований и обозначений получим общие теоремы динамики системы в

дифференциальной форме: