(2.32)

где S — длина траектории. Такой выбор коэффициента / обусловлен сопоставлением расчетных показателей с реальными. Так, например, при / = const нормальная составляющая скорости приземления — большая, что опасно для лыжника. Наиболее близкие к реальным ре­ зультаты, полученные приf 0= 1,2-5-1,5, р = 1. Приведенные коэффи­ циенты аэродинамического сопротивления приближенно отражают физику явления. Здесь не учтено, что при изменении углов атаки (уг­ лов наклона лыжника и лыж к вектору скорости полета) одновремен­ но должны изменяться оба коэффициента к и /0, более точное их оп­ ределение требует решения объемной задачи механики сплошных сред — обтекания потоком воздуха лыжника с лыжами.

Для решения задачи Коши (2.30), (2.31) перейдем к новым пере­ менным (2.17):

(2.33)

/ з = У 4 ,

/ 4 = г ( 1 - * '( л , + л1) ‘! (Л + /л ) }

t = 0:yi = 0, у2 = о 0 cosa, уъ = 0, у А= и 0 sin а. (2.34)

Задача решалась численно методом Эйлера. На рис. 2.9 приве­ дена одна из расчетных траекторий прыжка на лыжах.

2.4.Контрольные вопросы

1.Каковы две основные задачи динамики точки, которые реша­ ются при помощи дифференциальных уравнений движения материальной точки?

2.Как определяются постоянные при интегрировании диффе­ ренциальных уравнений движения материальной точки?

Глава 3. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО

ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

В предыдущей главе рассматривались дифференциальные уравнения движения материальной точки в инерциальной системе отсчета. Рассмотрим, как описывается движение точки по отноше­ нию к неинерциальной системе отсчета. В дальнейшем инерциаль­ ную систему будем условно называть неподвижной, а неинерциаль­ ную — подвижной для приближения к терминологии кинематики составного движения. Приведем некоторые сведения из теории со­ ставного движения.

Абсолютным называется движение точки по отношению к не­ подвижной системе отсчета, относительным — по отношению к подвижной. Движение подвижной системы по отношению к не­ подвижной называется переносным движением.

3.1.Основной закон относительного движения

Впринятой терминологии ускорение а во втором законе Нью­ тона (1.2) — абсолютное. Введем в (1.2) относительное ускорение аг, для чего воспользуемся теоремой сложения ускорений [21]:

где ае — переносное ускорение точки, обусловленное движением подвижной системы отсчета,

ак — ускорение Кориолиса, равное удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения и относительной скорости:

Подставим абсолютное ускорение (3.1) в (1.2) и в левой части уравнения оставим слагаемое с относительным ускорением:

которые составляют уравновешенную систему сил. Далее вагон тронулся с места и начал двигаться поступательно с ускорением ае. Поскольку нет силы трения, груз останется на прежнем месте по от­ ношению к неподвижной системе отсчета Oxyz и его абсолютное ускорение будет равно нулю (а = 0). Кориолисово ускорением* так­ же равно нулю. Тогда из (3.1) получим

аг = -а е9

т.е. груз начнет двигаться с ускорением по отношению к системе отсчета 0'х'у\ связанной с вагоном. Такое же ускорение мы полу­ чим и из основного закона относительного движения

mar = P + N +F™

Хорошо видно, что сила инерции Fem лишь учитывает движе­ ние вагона.

Для решения задач уравнение (3.4) удобно записать в проекци­ ях на оси:

Это дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки, в которых xr(t), уг(/), zr(t) — относительные координаты. Точки над функциями означают дифференцирование по времени.

Ранее говорилось (глава 1), что для многих прикладных задач систему отсчета, связанную с Землей, можно приближенно считать инерциальной. Однако есть явления, в которых вращение Земли проявляется достаточно заметно. Например, вследствие вращения Земли поворачивается плоскость колебаний маятника (маятник Фу­ ко), отклоняются к востоку тела, падающие с большой высоты, от­ клоняются вправо тела, брошенные на большое расстояние в Север­ ном полушарии. Аналогичные явления происходят с водами теку­ щих рек. Давно замечено, что в Северном полушарии, как правило, сильнее подмывается правый, а в Южном — левый берег (закон Бэ­ ра). Объясним это явление.

Рассмотрим на широте (р движение частички воды Мреки, те­ кущей с юга на север (рис. 3.2). Выбрав вращение Земли с угловой скоростью в качестве переносного, запишем основной закон от­ носительного движения точки М:

инерцииF ™, направленная от центра Оь лежат в меридиональной

плоскости. Перпендикулярна этой плоскости сила Кориолиса, Fkm = —так. Для определения направления ускорения Кориолиса

ак согласно правилу Н. Жуковского вектор относительной скорости

ог спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения,

иповернем эту проекцию на 90° в сторону вращения. Таким обра­ зом, ускорение ак направлено на запад (по оси JC), а сила инерции Fk " — на восток.

Из (3.6) в проекции на ось х получим