Глава 11. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ

Сначала рассмотрим движение одной материальной точки мас­ сой т под действием силы/7. По П закону Ньютона

т

Л

Чтобы в левой части уравнения получить изменение кинетиче­ ской энергии, умножим его обе части скалярно на вектор скорости о :

и внесем о под знак производной (для сохранения равенства разде­ лим левую часть на 2):

а й )

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, к ней приложенной.

Это теорема о кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме.

11.1.Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме

Перейдем к системе п материальных точек. На к-ю точку систе­ мы действует внешняя сила/7*6 и внутренняя/7* . Запишем (11.1) для

всех точек системы:

d_ mkv 2k — (Fk + Fk ^ • и*, к — 1, n, dt

или в обозначениях предыдущей главы:

Суммируя по всем точкам системы и вынося d/dt за знак суммы, получим

Z *=1

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к материальным точкам системы.

Теорему в дифференциальной форме (11.2) применяют обычно для составления дифференциального уравнения движения механи­ ческой системы с 1-й степенью свободы. Для оценки скоростей то­ чек системы применяют теорему в конечной форме.

11.2. Теорема об изменении кипетической энергии системы в конечной форме

Рассмотрим конечное перемещение механической системы. Обозначим перемещение к-й точки по ее траектории через sk. Про­ интегрируем (11.2):

По определению интеграл от элементарной работы есть работа на конечном перемещении:

для системы твердых тел, соединенных нерастяжимыми связями. Системы с такими связями условно называют неизменяемыми.

Для неизменяемой системы теоремы об изменении кинетиче­ ской энергии (11.2) и (11.3) приобретают вид

(11.6)

dt к

к = 1

В уравнения входят мощности и работы только внешних сил. Теоремы упрощаются еще более, если на движущуюся систему

наложены стационарные и идеальные связи, для которых сумма мощностей и сумма работ реакций связей равны 0. Примерами та­ ких связей являются связи без трения (реакция перпендикулярна скорости ее точки приложения) и связи, наложенные на твердое те­ ло, катящееся без скольжения по твердой поверхности (точка при­ ложения реакции является мгновенным центром скоростей, т. е. имеет скорость, равную 0). В случае идеальных связей в уравнения (11.6) и (11.7) войдут только внешние активные силы.

Рассмотренный ниже пример непосредственно отношения к за­ дачам биомеханики не имеет, хотя перекатывание наблюдается при ходьбе человека (перекатывание стопы). Близко к этому примеру качение по футбольному полю неожиданно упавшего и сгруппиро­ вавшегося футболиста и т. п.

11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости

Центру масс С сплошного однородного круглого катка сооб­ щим скорость о о, направленную вверх по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту (рис. 11.2). Определить, какое расстояние пройдет точка С до полной остановки катка, если каток движется без проскальзывания. Составить также дифферен­ циальное уравнение движения центра масс катка.

Решение. Рассмотрим каток как абсолютно твердое тело, на ко­ торое наложены идеальные связи, и применим теорему в конечной форме (11.7), учитывая из внешних сил только активную силу — силу тяжести катка Р :

Каток совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определится по формуле (10.10)

Т = - М ь 2с + - J c(o2.

2 2

Поскольку точка касания Си является мгновенным центром скоростей сечения катка, то

ю= о C/R,

ис учетом формулы осевого момента инерции

J C= - M R 2

2

получим выражение для кинетической энергии катка в произволь­ ный момент времени:

Работа силы тяжести на перемещении С0С* = 5 (рис. 11.2)

Учитывая, что в начальный момент времени и с = и 0, а в конеч­ ный о с = 0, из (11.8)-(11-10) получим решение задачи: