- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- •1.1. Введение
- •1.3. Основные законы динамики точки
- •1.3.1. Закон инерции
- •1.3.2. Основной закон динамики
- •1.3.3. Закон равенства действия и противодействия
- •1.3.4. Закон независимости действия сил
- •1.4. Контрольные вопросы
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •2.2. Две задачи динамики
- •2.2.1. Первая задача динамики
- •2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3.2. Относительный покой
- •3.2.1. Пример. Центробежный регулятор
- •3.3. Принцип относительности Галилея
- •3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина
- •3.4. Контрольные вопросы
- •4.1. Классификация сил
- •4.1.1. Свойства внутренних сил
- •4.2. Масса. Центр масс системы
- •4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
- •4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
- •4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
- •4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
- •5.3. Общие теоремы динамики системы
- •5.4. Контрольные вопросы
- •6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
- •6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
- •6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
- •6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
- •6.4. Контрольные вопросы
- •Глава 7ЛЕ0РЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
- •7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс
- •7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности
- •7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс
- •7.2.1. Пример. Человек на лодке
- •7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека
- •7.4. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
- •8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении
- •8.3.1. Пример. Кинетический момент человека
- •8.4. Контрольные вопросы
- •9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
- •9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
- •9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
- •9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
- •9.6. Контрольные вопросы
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях
- •10.1.1. Поступательное движение твердого тела
- •10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы
- •10.3. Общий случай движения свободного твердого тела
- •А = J Fxds.
- •10.6. Примеры вычисления работы
- •10.6.1. Работа силы тяжести
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
- •11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
- •11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
- •11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
- •11.9. Контрольные вопросы
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ды систем, для которых теорема о кинетической энергии также уп рощается.
Взаключение повторим схему вывода общих теорем динамики: II закон Ньютона => общие теоремы динамики точки => общие тео ремы динамики системы. На последнем этапе вывода используется также П1 закон Ньютона.
5.4.Контрольные вопросы
1.Сформулировать общие теоремы динамики точки (5.2)-(5.4).
2.Сформулировать общие теоремы динамики системы (5.12Н5.14).
Глава 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Количество движения материальной точки и системы матери альных точек были рассмотрены в предыдущей главе. Повторим и обсудим подробнее эти понятия.
Количеством движения материальной точки называется вели чина, равная т\5 — произведению массы точки на ее скорость. На рис. 6.1 изображена траектория (L) материальной точки М Вектор количества движения т о , как и
вектор скорости о, направлен по |
|
касательной к траектории Мх |
|
в сторону движения точки. Его |
|
модуль равен т о — произведе |
|
нию массы точки на модуль ее |
Рис. 6.1 |
скорости. |
|
Рассмотрим механическую |
|
систему, состоящую из п материальных точек. |
|
Количество движения системы есть величина, равная геомет рической сумме количеств движения всех материальных точек сис
темы: |
|
Q = £ > * й » . |
(6-1) |
Количество движения Q как векторную величину можно опре делить по его проекциям на оси прямоугольной декартовой систе мы координат:
п
Qx = J 2 mkVb’ к=1
Qy = 'Z ,mk»ky, |
(6.2) |
n
Qi = X ] m*Ufa-
Модуль вектора
Q = *\JQX + Q y2 + Q z , |
(6.3) |
а направляющие косинусы определяются формулами:
cosa = QX/Q, cosp = Qy/Q, cosy = QZ/Q* |
(6.4) |
6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
Положение центра масс системы определяется его радиу сом-вектором (4.5).
Умножая обе части равенства на М и дифференцируя по време ни, получим
л |
(6.5) |
МЪС= |
|
к= 1 |
|
Из (6.1) и (6.5) следует, что |
|
Q = m c. |
(6.6) |
Количество движения системы равно ее массе, умноженной на скорость движения центра масс.
6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
Оценить количество движения человека массой М = 70 кг, иду щего со скоростью и = 5,4 км/ч (рис. 6.2).
Решение. В такой постанов ке задачи человек представляет ся как материальная точка и ее количество движения равно произведению массы на ско рость (о = 1,5 м/с):
Q = Ми = 105 кгм/с.
Учтем реальное движение человека и оценим, насколько точной является такая модель. Для этого определим количест во движения по формуле (6.6) через скорость движения центра масс человека.
Центр масс человека расположен в области первых крестцовых позвонков на высоте от пола (для стоящего человека), составляю щей 57-58 % роста мужчины и 55-57 % женщины [11]. При ходьбе центр масс человека движется по кривой, близкой к синусоиде, с вертикальной амплитудой А, равной в среднем 2,5 см, и с перио дом, равным половине периода ходьбы, на котором центр тяжести совершает два полных колебания.
Вертикальные колебания центра масс опишем уравнением
Ус = Уо + j 4sin<DT,
где со — круговая частота колебаний. Вертикальная скорость центра масс
1>су = Ус = Люcosсо/.
Амплитуда скорости Аса =А-2п/(х/2), где т — период ходьбы. При данной скорости движения длина шага примерно равна 0,75 м. Тогда можно определить период ходьбы т, он будет равен 1 с, и
Аса = 0,025-4я = 0,314 м/с.
Максимальное значение вертикальной компоненты количества движения Qy, равной МиСу достигает величины М Аса = 22 кгм/с.
Модуль количества движения
Qm= № + Q l =л/Ю52 + 2 2 1 = 107,3 кгм/с.
Учет вертикального движения центра масс дает поправку в пер воначальный результат, равную 2,2 %. Однако отклонение вектора Q от горизонтали более существенно. Максимальное значение угла отклонения а т = arccos(Qx/Q m) = 12°. Заметим, что Qx при ходьбе
также претерпевает изменения, которые оценить сложнее, так же как и поперечную компоненту Q .
6.2. Теоремы о количестве движения материальной точки и системы материальных точек
в дифференциальной форме
По второму закону Ньютона произведение массы материаль ной точки на ее ускорение равно силе, действующей на материаль ную точку,
т— — г .
Л
Если масса постоянна, то ее можно внести под знак производной:
= |
(6.7) |
ТЕОРЕМА. Производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, приложенной к точке.
Перейдем к рассмотрению системы п материальных точек. Применим теорему (6.7) для к-й точки системы:
j t {mku k) = F ; +Fk-, к = ~ п , |
(6.8) |
где Fk и Fk — соответственно внешняя и внутренняя силы, дейст вующие на к-ю точку. Просуммируем (6.8) по всем точкам системы:
1 a t |
к=1 |
' |
Используя свойства сумм и производной, преобразуем уравне ние к виду
И, наконец, с учетом (6.1) и (4.1) получим теорему для системы в дифференциальной форме:
(6.9)
ТЕОРЕМА. Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.
Спроектируем левую и правую части (6.9), например, на ось х:
(6.10)
ТЕОРЕМА. Производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил на эту ось.
Уравнения (6.9) и (6.10) дают векторную и координатную фор мы записи теоремы о количестве движения системы в дифференци альной форме.
6.2.1. Условия сохранения количества движения системы
Теоремы о количестве движения системы (6.9) и (6.10) позволя ют установить условия действия сил, при которых вектор количест ва движения системы Q или его проекция на какую-либо ось сохра няются.
1. Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то количество движения механической системы сохраняется:
£ / V = 0 = » ^ . = 0 = » 6 = const. |
(6.И) |
2. Если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция количества движения меха нической системы на эту ось сохраняется:
П |
</gx |
О =>■ Qx = const. |
(6.12) |
|
E F* = |
||||
dt |
|
|
||
|
|
|
Условия сохранения количества движения используются для расчета скоростей при передаче движения от одного тела к другому, например при забивании свай, ударе молота о наковальню, движе нии точки переменной массы. Рассмотрим достаточно общий при мер взаимодействия двух тел.
6.2.1.1. Пример. Удар бильярдных шаров
Определить, с какой скоростью о, должен ударить один биль ярдный шар по другому неподвижному шару, чтобы последний по сле удара приобрел заданную скорость и2. Удар считать прямым центральным. Отношение относительных скоростей шаров по от ношению друг к другу после удара и до удара равно к (коэффициент восстановления).
Решение. Обозначим абсолютные скорости шаров до удара и ,, а после удара и,. При прямом центральном ударе все скорости на правлены по прямой, соединяющей центры шаров. Силы, возни кающие при ударе, велики и на несколько порядков превышают не ударные силы. Для системы двух шаров ударные силы их взаимо действия являются внутренними, а внешними неударными силами во время удара можно пренебречь (так как время соударения мало),
л__
т.е. считать, что У .F/ = 0. Тогда из условия сохранения Q (6.11)
к=\
получим, что количества движения системы до удара и после удара одинаковы:
miO, + wi2 u2 = tri\U 1 + M 2U 2,
что в проекции на ось х (рис. 6.3) приводит к уравнению
/И,и,х + /n 2t>2i = Щ Щ х + Щ » 2х- |
(6.13) |
Второе уравнение получим из определения коэффициента вос становления (ии > о 2 х , и2х> и 1х):
к _ и2х ~ иХх
O i x - o 2i’
кО\х ~ кх>2Х ——U\x U2X. |
(6.14) |