где QQ, Q — значения количества движения системы в начале и в конце промежутка времени,

Sk — импульс к-й внешней силы.

ТЕОРЕМА. Изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени.

В координатной форме уравнение (6.18) принимает вид

п

(6.19)

Здесь в правой части уравнения стоит алгебраическая сумма проекций импульсов внешних сил на ось х.

Теоремы (6.9) и (6.18) связывают изменение суммарной меры движения системы с силами, которые приложены к системе. Важно, что в суммарных уравнениях из рассмотрения исключаются внут­ ренние сипы. Косвенно внутренние силы влияют на изменение ко­ личества движения системы. Так, при ходьбе человека в определен­ ной фазе шага мускульные усилия (внутренние силы) приводят к образованию силы трения (внешняя сила), действующей на стопу человека со стороны опорной поверхности, которая и вызывает из­ менение горизонтальной составляющей количества движения чело­ века Qx. Однако при отсутствии сцепления с поверхностью никакие мускульные усилия не могут повлиять на Qx.

Теоремы об изменении количества движения находят примене­ ние в динамике сплошных сред. Ниже дается один из примеров та­ кого применения.

6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга

Определить горизонтальную составляющую давления изогну­ того наконечника АОВ пожарного шланга на руки пожарного С, ес­ ли угол изгиба наконечника а = 30°, площадь внутреннего сечения 5 = 1 6 см2, а скорость струи воды и = 20 м/с (рис. 6.4).

Решение. Полагаем, что на наконечник со стороны рук пожар­ ного наложена связь, которую будем считать жесткой заделкой. По­ этому наконечник будем считать неподвижным и сначала рассмот­ рим течение в нем воды (рис. 6.5).

Рис. 6.4

Теорему (6.18) приме­ ним для столбика воды, подходящей к изгибу нако­ нечника. Высоту столбика примем равной ut, где t — промежуток времени, в те­

бика М= pSut, где р — плотность воды. Количество движения столбика воды до и после перетекания найдем по формуле (6.6),

Обозначим через S импульс внешних сил, действующих на столбик в промежутке време­ ни от 0 до и Тогда (6.18) для промежутка време­

Вектор»? легко найти графически (рис. 6.6), однако нам нужна его проекция на ось х, которую найдем из (6.21) с учетом (6.20),

При равномерном течении воды реакция стенок R постоянна, поэтому

где X — проекция реакции R на ось х. Из (6.22) и (6.23)

Ha стенки наконечника со стороны воды будет действовать го­ ризонтальная сила, равная (-Х). В горизонтальном направлении на наконечник действует также сила X с— составляющая реакции рук пожарного. Тогда из уравнения равновесия наконечника с учетом (6.24) получим

5 ^ = 0; Х с - Х = 0,

Х с = р£и2 (1 —cosa).

Сила горизонтального давления наконечника на руки пожарно­ го Х'с обратна по направлению:

Х'с = —pSu2(l —cosa).

При р = 1000 кг/м3, S = 0,0016 м2, о = 20 м/с, a = 30° получим ответ:

Х'с = -8 5 ,8 Н.

Составляющая силы давления на руки направлена против оси х.

6.3.2.Пример. Игрок в американский футбол ударяется

обетонную стену

Gus Ferrotte, бывший разыгрывающий Washington Redskins, за­ считал на свой счет тачдаун в матче против New York Giants в 1997 г. и затем в возбуждении от момента ударил головой стоя­ щую рядом бетонную стену. На голове атлета была каска, тем не ме­ нее он повредил свою шею и стал объектом для шуток. Он заявил телерепортерам: «Я мог бы ударить головой любого футбольного

игрока после тачдауна и с моей шеей ничего бы не случилось». Есть ли какие-либо отличия между ударом головой футбольного игрока и ударом головой о бетонную стену?

Решение. Предположим, что Газ представляет собой объект массы гп\, и футболист, которого он бьет головой, имеет массу т2- Эти массы имеют примерно одинаковое значение. Предполагаем, что перед столкновением атлет имел скорость о 0, а другой футбо­ лист находился в покое, считая также, что после столкновения они движутся вместе со скоростью о. Так как ударные силы для системы в целом являются внутренними силами, то при ударе количество движения системы сохраняется. Если принять, что гп\ =тг, то о \ = о 0/2. По теореме (6.18), примененной для бегущего игрока, суммарный импульс сил будет равен -miU0/2.

Если же игрок ударяет голо­ вой стену, то после удара ско­ рость его будет равна 0, и изме­ нение количества движения за время удара равно —nijOo. 0 со­ ответствии с (6.18) ударный Им­ пульс будет равен этому значе­ нию.

Таким образом, при ударе игрока о неподвижную стену Им­ пульс ударных сил по абсоЯНггной величине увеличивайся в 2 раза.

Приведенный пример носит оценочный характер, так как я Нем полагается, что вся масса игрока сосредоточена в голове.

6.4.Контрольные вопросы

1.Постройте векторный многоугольник для количества д в о е ­ ния системы в соответствии с формулой (6.1).

2.Чему равно изменение количества движения системы, если геометрическая сумма внешних сил равна нулю?

3.Дайте определение импульса силы за конечный промежуток времени.

4. Определите скорость движения пти­ цы после её соударения со стеклян­ ной преградой, закрепленной в песке. Скорость птицы до соударения 45 км/ч, масса птицы 20 г, масса пре­ грады 100 кг.