Т = 2

где А — высота прыжка. При А = 0,5 м время Т= 0,64 с. Прыжок тройной, поэтому время одного оборота t\ = Т /3 —0,21 с.

Угловая скорость вращения ©i = 2тс/^ = 30 с’1, или около 5 оборотов в секунду.

Рассмотрим завершающую фазу прыжка. Фигурист разводит в сторону руки и отводит ногу, чтобы максимально увеличить мо­ мент инерции относительно оси вращения. По данным работы [14], в это время момент инерции J2= 8 кг-м2. В основной фазе полета J, = 1,2 кг-м2. Полагаем, что

Х > 2( / Г ) = о,

к=\

откуда следует условие сохранения кинетического момента для вращающегося тела (9.9):

или 0,7 оборота за 1 секунду. Угловая скорость существенно зави­ сит от высоты прыжка А. Она обратно пропорциональна л/а.

9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

Применим теорему о кинетическом моменте относительно оси (9.6) к частному случаю движения системы — вращению абсолют­ но твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае кинетиче­ ский момент К г —J zco и теорема (9.6) примет вид

f M = ± m ,( F k'). к=1

Если тело абсолютно твердое, то момент терции Jz= const и его можно вынести за знак производной. Учитывая, что угловая

скорость со равна 1-й производной по времени от угла поворота <р, получим уравнение

дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение связывает угол tp поворо­ та тела с внешними силами, приложенными к нему. Угловое уско­ рение, стоящее в левой части уравнения (9.10), можно представить по-разному:

и в зависимости от условия задачи и метода решения выбирать раз­ личную форму представления.

9.3.1. Пример. Вращение фигуриста

d =0,4 м. Определить время полного торможения фигуриста, приняв в качестве его модели сплошной круглый цилиндр радиусом г = 0,2 м.

На рис. 9.3 изображен вид модельного тела сверху. Сила тяже­ сти и нормальные составляющие реакции льда на рисунке не изо­

и после интегрирования получим

Для данных условий задачи время торможения / = 14 с. При уменьшении расстояния между коньками d время торможения бу­ дет увеличиваться.

9.4.Теорема об изменении кинетического момента

вотносительном движении

Рассмотрим относительное движение механической системы по отношению к системе Кёнига, началом которой служит центр масс С механической системы и которая движется поступательно. При ас ^ 0 эта система является неинерциальной. Для описания движения каждой точки механической системы дополнительно к действую­ щим на нее силам надо условно приложить переносную и кориолисо­ ву силы инерции материальной точки (глава 3). Так как переносное движение поступательное, то переносное ускорение равно ускоре­ нию центра масс, а кориолисово ускорение обращается в нуль.

В теореме (9.5) к внешним силам добавим только переносные силы инерции:

(9.13)

где К с — кинетический момент механической системы относительно центра в ее движении по отношению к системе Кёнига. Покажем, что в (9.13) последняя сумма обращается в нуль. Учтем, чюР™ = —ткас:

так как радиус-вектор центра масс в подвижной системе г'е - 0. Окончательно имеем

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момен­ та системы относительно ее центра масс в движении по отношению к системе Кёнига равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно центра масс.

Уравнение (9.14) совпадает с уравнением (9.5), выражающим теорему о кинетическом моменте в абсолютном движении. По ана­ логии с (9.6) запишется теорема о кинетическом моменте относи­ тельно оси, проходящей через центр масс системы:

(915)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от кинетического момента механической системы в системе Кёнига относительно оси, проходя­ щей через центр масс и движущейся поступательно, равна алгебраи­ ческой сумме моментов всех внешних сил относительно этой оси.

Ввиду совпадения уравнений (9.14) и (9.15) с уравнениями (9.5) и (9.6) условия сохранения кинетического момента относительно центра и проходящей через него оси в относительном движении будут такими же, как (9.7) и (9.8):

9.4.1. Пример. Прыжок в воду с 10-метровой выш ки

Определить, с какой минимальной угловой скоростью прыгун с 10-метровой вышки войдет в воду, совершив 1,5 оборота вокруг фронтальной оси (рис. 9.4).

Решение. Идеальный способ вхождения в воду можно пред­ ставить следующим образом. При отталкивании от трамплина

at

Сила тяжести Р момента не создает, а сопротивление воздуха не учитываем. Тогда

^ 1 = 0, к'а . = const. dt

где У, иУ2 — моменты инерции тела относительно фронтальной оси до и после распрямления. Как следует из табл. 4.1, отношение J 2/J\ = 2,6. Тогда

Спортсмен входит в воду с угловой скоростью 0,4 оборота в се­ кунду. Если сравнить результаты в примерах 9.2.1 и 9.4.1, то кажет­ ся удивительным, что время прыжка с 10-метровой вышки (1,41 с) лишь в два с небольшим раза превышает время полного прыжка на коньках на высоту 0,5 метра (0-,64 с).

9.4.2. Пример. Падение кошки

Рассмотрим падение и переворачивание в воздухе кошки с вы­ соты S. Известно, что кошка при падении практически всегда при­ земляется на все четыре лапы. Из наблюдений известно, что это происходит благодаря быстрому вращению кошкой собственным хвостом. Найдем скорость вращения

хвоста кошки.

Момент инерции туловища кош­ ки Jk= 1,2 10"1кг • м2. Момент инер­ ции хвоста кошки Js = 6 • 1(Г3 кг • м2. Высота падения S = 5 м.

Решение. Определим время паде­

ния:

следовательно, t= /— « 1 с . V 8

За это время туловище кошки по­ ворачивается на 180° (или на п рад), т. е. угловая скорость вращения туло­ вища

<в*=я 1/с.

Кинетический момент туловища Lk=Jk • ю*. Кинетический момент хво­ ста LS=JS-(а,. В начальный момент кошка находилась в покое и сумма мо­ ментов внешних сил относительно оси

вращения кошки равна 0 (моменты внешних сил отсутствуют). Тогда Lk+Ls = 0, J k • to* + J s • ш, = 0 откуда