где первая строка — орты координатных осей, вторая — координа­ ты движущейся точки А, третья — проекции вектора т\5 на оси ко­ ординат.

Разлагая определитель (8.7) по элементам первой строки и вы­ числяя определители 2-го порядка, получим

где коэффициенты при ортах /, у, к суть проекции на оси х, у , z век­

тора m0(mu), которые по теореме (8.6) равны моментам относи­

тельно координатных осей:

mr,( т и ) — ym\jz — zmu у,

i z(m u) = xmv> у —ym vx.

Выражения (8.9) называют аналитическими выражениями мо­ ментов вектора т о относительно координатных осей.

8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п матери­ альных точек. Обозначим через m0(m*о*) момент количества дви­

жения к-й точки системы относительно центра О. Введем суммар­ ную характеристику движения системы.

Кинетический момент системы относительно центра равен гео­ метрической сумме моментов количеств движения всех материаль­ ных точек системы относительно этого центра:

К 0 = '^2 тй{тkv k). к=I

Спроектируем К 0 на ось z:

Я

K o z= Y l Пр2 [w0 (mk\5k)]. ы\

По теореме (8.6)

к = \

где К2назовем кинетическим моментом системы относительно оси z. Аналогично определяются кинетические моменты относительно

осей х и у:

я

Кх = '^ /mx(mkv k),

k = \

k= 1

я

К х = ^ m z(m*o*).

k = \

Кинетический момент системы относительно оси равен алгеб­ раической сумме моментов количеств движения всех материаль­ ных точек системы относительно этой оси.

Поскольку Oxyz — прямоугольная система координат, то мо­ дуль вектора К 0 и его направляющие косинусы определяются по

8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Пусть абсолютно твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси z, проходящей через подпятник А и под­ шипник В (рис. 8.2). Осевой момент инерции тела Jzзадан. Найдем его кинетический момент относительно оси вращения.

Разобьем тело на большое число п частей и каждую часть будем счи­ тать материальной точкой массы тк. Выделенная на рис. 8.2 точка Мк движется по окружности радиусом hk, и вектор ее количества движения лежит в плоскости, перпендикуляр­ ной оси z, и перпендикулярен радиу­ су hk. Тогда в соответствии с (8.12) и (8.4) получим

К 2 = '£2mz(mk\5k) = Y ^m k\)khk.

*=1 *=1

Подставим сюда выражение ли­ нейной скорости точки вращающе­ гося тела

и* =(0hk

и вынесем угловую скорость ш за знак суммы:

Л = Yl,rnkhk .

*=1

Кинетический момент твердого тела относительно неподвиж­ ной оси вращения равен произведению осевого момента инерции тела на его угловую скорость.

8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении

Свяжем с центром масс системы подвижную систему коорди­ нат Cx'y'z\ движущуюся поступательно относительно неподвиж­ ной системы координат Oxyz (рис. 8.3). Систему Cx’y ’z' называют системой Кёнига. При таком выборе подвижной системы наиболее просто устанавливается связь между кинетическими моментами в абсолютном и относительном движениях.

Найдем кинетический момент системы относительно центра О

вабсолютном движении системы

всоответствии с формулами (8.10) и (8.1):

,п

К 0 = ' Y j k х /и*и*, (8.16)

k= 1

где, как видно из рис. 8.3, ради­ ус-вектор

Рис. 8.3

а абсолютная скорость точки \5к складывается из переносной ско­

рости, равной скорости центра масс, и относительной скорости по отношению к системе Кёнига:

Подставим (8.17) и (8.18) в (8.16) и после некоторых преобразо­ ваний получим

k=i

K ' = ^ 2 r k xm k\5'k,

*=i

гдеЛГс — кинетический момент относительно центра масс в отно­ сительном движении системы.

Поскольку М йс = Q , о ' = 0, FJ= 0 (относительные скорость и радиус-вектор центра масс равны нулю), то окончательно получим

ТЕОРЕМА. Кинетический момент системы относительно не­ подвижного центра равен геометрической сумме момента относи­

тельно этого центра вектора количества движения системы, прило­ женного в центре масс, и кинетического момента относительно цен­ тра масс в относительном движении.

Если К 0 спроектировать на какую-либо ось, например ось z, то из (8.19) получим выражение для кинетического момента системы относительно неподвижной оси z:

где wz( g ) — момент относительно оси z вектора количества дви­

жения системы, приложенного в центре масс, К'Сг' — кинетический момент в системе координат Сх'у'т! от­

носительно оси Cz'.

Применим формулу (8.20) для твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение. На рис. 8.4 изображено сечение те­ ла, движущееся в плоскости Оху. С центром масс, который лежит в этом сечении, свяжем систему Кёнига Cx'y’z1, которая движется поступательно со скоростью центра масс о с . По отношению к этой системе тело вращается с угловой скоростью со. Количество движе­ ния механической системы

где хС9ус— координаты центра масс тела.

Кинетический момент тела во вращательном движении относи­ тельно оси Cz' определяется фор­

где Jcz1 — момент инерции тела относительно оси Cz'. Подставим (8.22), (8.23) в (8.20) и получим формулу для кинетического мо­ мента тела, совершающего плос­ копараллельное движение,