10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях

Чтобы воспользоваться формулой (10.1) для определения кине­ тической энергии сплошного-твердого тела, необходимо разбить его на достаточно большое число п частей и устремить п к бесконеч­ ности. Для приведенных выводов будет применяться приближен­ ная формула (10.1).

10.1.1. Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении все точки тела имеют в данный момент времени одинаковые скорости, равные скорости движения центра масс,

и* = о с, к = 1, п.

Подставляя это в (10.1), получим

Т =

Кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы тела на квадрат скорости движения центра масс. Формула (10.2) совпадает с формулой кинетической энергии материальной точки, масса и скорость которой равны соот­ ветственно массе и скорости тела.

10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое вращается с угло­ вой скоростью со вокруг неподвижной оси AZ. Линейная скорость малого элемента тела, принимаемого за материальную точку, опре­ деляется по формуле

где hk— расстояние этого элемента до оси вращения (см. рис. 8.2). Подставляя (10.3) в (10.1), получим

2

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвиж­ ной оси, равна половине произведе­ ния осевого момента инерции тела на квадрат угловой скорости его вращения. Аналогичный результат получается и при пространственном движении твердого тела около од­ ной неподвижной точки, называе­ мом сферическим движением. Это движение представляется последо­ вательностью элементарных враще­ ний вокруг мгновенных осей ОР (рис. 10.1), поэтому справедлива формула (10.4),

Так как ось ОР меняет свое положение по отношению к телу, то момент инерции относительно мгновенной оси J P, вообще говоря, величина переметая.

10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы

Рассмотрим произвольно движущуюся систему материальных

точек. Свяжем с ее центром масс систему координат Cx'y'z' (система Кёнига), которая движется поступательно по отношению к непод­ вижной системе координат Oxyz (см. рис. 8.3). Абсолютное движе­ ние механической системы разлагается на два движения: перенос­ ное — вместе с системой Кёнига и относительное — по отношению

к этой системе. Переносная скорость во всех точках подвижной сис­ темы будет одинакова (по свойствам поступательного движения) и равна скорости движения центра масс. По теореме сложения скоро­ стей абсолютная скорость к-й точки системы равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей точки:

Подставим (10.6) в формулу кинетической энергии системы ма­ териальных точек (10.1) и вынесем за знак суммы множители, не со­ держащие индекса суммирования,

ТЕОРЕМА КЁНИГА. Кинетическая энергия механической сис­ темы равна сумме кинетической энергии поступательного движе­ ния вместе с центром масс и кинетической энергии движения по от­ ношению к системе координат, движущейся поступательно вместе

сцентром масс.

10.3.Общий случай движения свободного твердого тела

Вобщем случае движение твердого тела можно представить как поступательное движение вместе с центром масс и сферическое движение около центра масс (рис. 10.2). По теореме Кёнига с уче­ том (10.5) получим формулу кинетической энергии:

по

инерции относительно оси, проходящей через полюс О

(Jc = J Q — Ма2, а = ОС):

Т = ^М (\50 + и ')2 + | ( У 0 - М а 2)ю2

Так как относительная скорость о ' = соа, то после раскрытия скобок формула приводится к виду

Таким образом, если за полюс принимается не центр масс систе­ мы, то в отличие от (10.10) в формулу кинетической энергии добав­ ляется слагаемое, содержащее скорость полюса и относительную скорость центра масс. В целом для человека кинетическая энергия найдется как сумма кинетических энергий всех его сегментов:

где Мк— масса к-то сегмента,

— скорость проксимального сустава,

J0k— момент инерции относительно оси, проходящей через проксимальный сустав,

со к — угловая скорость сегмента,

и а , — скорость центра масс сегмента, обусловленная его вра­

щением вокруг проксимального сустава.

10.5. Работа и мощность силы

Рассмотрим характеристики воздействия силы на материаль­ ную точку, которые определяют изменение ее кинетической энер­ гии. Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера движения, и ее изменение определяется изменением модуля скоро­ сти. На модуль скорости влияет лишь составляющая силы, направ­ ленная по касательной к траектории точки.

Элементарная работа силы равна проекции силы на направле­ ние элементарного перемещения точки приложения силы, умно­ женной на это перемещение (рис. 10.3):

dA= Fxds. (10.13)

Следует сразу обратить вни­ мание на то, что такая запись не означает, что dA — дифференци­ ал некоторой функции, что спра­ ведливо лишь для так называемых потенциальных сил. Из (10.13) по­

лучается выражение элементарной работы через модуль силы F:

где а — угол между направлением силы и направлением касатель­ ной к траектории точки приложения силы. Работа dA положительна, если угол а острый, и отрицательна, если тупой. Элементарная ра­ бота равна Fds, О, - Fds соответственно при углах а = 0,90°, 180°.

Введем вектор элементарного перемещения dr, модуль кото­ рого |<ir| = ds. Тогда (10.14) есть скалярное произведение двух век­ торов:

По свойствам скалярного произведения запишем dA в виде вы­ ражения

которое называют аналитическим выражением элементарной рабо­ ты. В (10.16) Fx, Fy, Fz— проекции силы на оси прямоугольной де­ картовой системы координат, a dx, dy, dz — дифференциалы коор­ динат точки приложения силы.

Для того чтобы найти работу А на конечном перемещении, уча­ сток траектории точки приложения силы М0 М разобьем на п частей и вычислим предел интегральной суммы:

где Ask — длина к-го участка, Fzk — касательная сила, действующая в любой точке этого участка. Формула (10.17) определяет криволи­ нейный интеграл по траектории М0 М

m