2.2. Две задачи динамики

Дифференциальные уравнения (2.2) позволяют сформулиро­ вать две основные задачи динамики.

2.2.1. Первая задача динамики

По заданному движению материальной точки надо определить действующую на нее силу или же, зная уравнения движения точки массы т:

x = f\(t), y = z = f 3(t), (2.3)

определить проекции силы Fxy Fyi Fz.

Для решения 1-й задачи динамики надо дважды продифферен­ цировать по времени координаты (2.3) и подставить в уравнения (2.2), из которых найдем FXi Fy, Fz. Модуль вектора силы и его на­

2.2.1.1.Пример. Определение реакции опоры при ходьбе человека

Определить реакции опоры при ходьбе человека массой т по горизонтальной плоскости, если движение человека известно. Та­ кая задача называется обратной задачей теории ходьбы. Обычно сегменты тела человека (голова, туловище, бедро, голень, стопа, плечо, предплечье, кисть) рассматриваются как абсолютно твердые тела, соединенные идеальными шарнирами (суставами). Для реше­ ния 1-й задачи динамики надо знать движение каждого сегмента и его, как говорят, масс-инерционные характеристики.

Рассмотрим простейшую одномассовую бесстопную модель человека с невесомыми ногами [13]. Считаем, что масса человека сосредоточена в тазобедренном суставе С (рис. 2.2). В рассматри­ ваемый промежуток времени голень опорной ноги АВ — I j совер­ шает вращение вокруг точки А по закону а = а (f), а бедро ВС = £2

движется плоскопараллельно, причем угол наклона бедра к гори­ зонтали также известен: (J = Р(t). Полагаем, что сегменты тела чело-

Дважды продифференцируем координаты ус и zc по времени и подставим в уравнения (2.7), из которых найдем реакции опор

Ry =-/w^1(ct2 cosa 4-asina) + ^2(02 cosP + |3sinp)J,

(2.9)

Rz = m^g —£i( a 2sina —acosa^ —£2{p2sinP—pcosp^j.

Наличие угловых скоростей a, 0 и угловых ускорений a, 0 в (2.9) связано с дифференцированием по времени тригонометрических функций, аргументами которых являются функции времени a(f), P(f).

На опыте угловые характеристики ходьбы могут быть получе­ ны с помощью специального прибора — гониометра, крепящегося к туловищу, бедру и голени человека, а также путем обработки цик­ лограмм или кинограмм ходьбы. В последнем случае к сегментам тела человека крепится шарнирный многоугольник, называемый экзоскелетоном, который повторяет движение частей тела человека [24-26].

Взаключение приведем данные из работы [25] о зависимости Ry

иRzот времени, полученные экспериментально с помощью силовой платформы (рис. 2.3). Силы, действующие на одну ногу «среднего» человека, представлены в долях его веса Р. Вертикальная состав­ ляющая Rz(кривая 1) колеблется около значения, равного весу чело­ века, а зависимость горизонтальной составляющей Ry (кривая 2) близка к синусоидальной. Ее амплитудное значение равно - 1/4 ве­

са человека, а период равен времени контакта ноги с опорой Т] « 0,6т (60 % периода ходьбы).

2.2.2. Вторая задача динамики

Она является обратной по отношению к первой задаче дина­ мики: по заданной силе определить движение материальной точки или же, зная проекции силы Fx, Fyi Fz, определить координаты JC(/),

.КО. z(0-

Сила, действующая на материальную точку, может зависеть от времени (например, движение заряженной частицы в нестационар­ ном электрическом поле), координат (центральные силы) и скоро­ сти (движение тела в сплошной среде). В общем случае эти факторы могут действовать одновременно и дифференциальные уравнения (2.2) примут вид

тх = Fx(t, х, у9z, х9у, z),

m z= F 2(t>*, y9z,x,y,z),

где правые части являются известными функциями. Чтобы найти x(t), y(t) и z(t), необходимо решить систему дифференциальных уравнений (2.10) или проинтегрировать ее. Постоянные интегри­ рования находятся по начальным условиям движения точки (на­ чальным координатам и проекциям начальной скорости на оси ко­ ординат)

В простейших случаях (сила постоянна, зависит от одного аргу­ мента и др.) можно найти точное решение системы (2.10), исполь­ зуя известные методы решения дифференциальных уравнений. Од­ нако в реальных задачах сила зависит от нескольких факторов и ре­ шение системы (2.10) можно найти только методами численного интегрирования, которым и уделим основное внимание в этой рабо­ те. Но сначала рассмотрим пример аналитического решения 2-й за­ дачи динамики.

2.2.2.1. Пример. Падение тела в сопротивляющейся среде

Определить скорость и уравнение движения тела при его сво­ бодном падении без начальной скорости в однородном поле тяже­ сти, если сила сопротивления движению пропорциональна квадра­ ту скорости и равна mgk 2о 2, где к — постоянный коэффициент. Ре­ зультаты решения применить к спуску на парашюте и затяжному прыжку спортсмена.

Решение. Рассмотрим движение тела как движение материаль­ ной точки М массой т , на которую действуют сила тяжести Р и сила сопротивления среды R. Очевидно, что точка будет двигаться по вертикали по направлению действия силы тяжести, так как ее на­ чальная скорость равна 0. Ось х направим по движению точки.

По II закону Ньютона

та = Р +R.

о

R

М

Р

"х

Рис. 2.4

Проектируя обе части уравнения на ось х (рис. 2.4) и подстав­ ляя в него значения сил Р -m g и

получим дифференциальное уравнение

* = « ( 1 -*■*■ ).

Это уравнение можно решить методом разделения перемен­ ных. Сначала понизим порядок уравнения, введя в него скорость о = JC

Разделив переменные и взяв неопределенный интеграл, полу­ чим:

/Л>

1 —к 2о 2

= gt + ct.

2к | 1 - * и |

Подстановка сюда начального условия

<=0: о = 0

vdv

Так как при х = 0 о = 0, то с = 0. С учетом того, что 1 > ко, по­ лучим окончательное решение.

Предельное значение скорости при х —>оо о ^ = 1/к. При дви­ жении тела с такой скоростью сила тяжести уравновешивается си­ лой сопротивления.

Возможен и другой, более простой, путь решения этой задачи. При достижении максимального значения скорости ускорение точ­ ки принимает значение, равное 0. Тогда из II закона Ньютона полу­ чаем

mg =R, mg = mgk1u max,2

^ шах = 1/к.

Для рассмотрения реальных примеров падения можно восполь­ зоваться известной формулой, определяющей аэродинамическое сопротивление движению,

(2.15)

где р — плотность среды (плотность воздуха при давлении 760 мм рт. ст. и температуре 15 °С равна 1,23 кг/м3),

S — площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (площадь миделя),

сх— безразмерный коэффициент аэродинамического сопротив­ ления, который меняется от сотых долей единицы для ве­ ретенообразных тел до 1,4 у тел формы парашюта.

Коэффициент сопротивления к, введенный в условие задачи, найдем из равенства правых частей (2.12) и (2.15):

к = С*Р^ \ 2mg

Тогда предельная скорость падения

cxpS

Так, при спуске на параппоте человека (диаметр купола 6,4 м, масса человека и парашюта /и = 70 кг, сх=1,4, р = 1,23 кг/м3, g = 9,8 м/с2) предельная скорость спуска равна приблизительно 5 м/с.

При затяжном прыжке спорт­ смен долго падает без раскрытия парашюта. Для увеличения пло­ щади миделя он занимает гори­ зонтальное положение (рис. 2.5). Как известно, в этом случае пре­ дельная скорость падения равна приблизительно 60 м/с. Найдем величину коэффициента аэроди­ намического сопротивления из (2.16):

2mg pSulo

При значениях т = 70 кг, S = 0,5 м2 коэффициент сх= 0,62.

В заключение примера приведем табл. 2.1 значений площади миделя S и коэффициента аэродинамического сопротивления схдля некоторых видов спорта [14].

Т а б л и ц а 2.1

Площади миделя S и коэффициенты аэродинамического сопротивления сх для некоторых видов спорта