- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- •1.1. Введение
- •1.3. Основные законы динамики точки
- •1.3.1. Закон инерции
- •1.3.2. Основной закон динамики
- •1.3.3. Закон равенства действия и противодействия
- •1.3.4. Закон независимости действия сил
- •1.4. Контрольные вопросы
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •2.2. Две задачи динамики
- •2.2.1. Первая задача динамики
- •2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3.2. Относительный покой
- •3.2.1. Пример. Центробежный регулятор
- •3.3. Принцип относительности Галилея
- •3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина
- •3.4. Контрольные вопросы
- •4.1. Классификация сил
- •4.1.1. Свойства внутренних сил
- •4.2. Масса. Центр масс системы
- •4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
- •4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
- •4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
- •4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
- •5.3. Общие теоремы динамики системы
- •5.4. Контрольные вопросы
- •6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
- •6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
- •6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
- •6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
- •6.4. Контрольные вопросы
- •Глава 7ЛЕ0РЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
- •7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс
- •7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности
- •7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс
- •7.2.1. Пример. Человек на лодке
- •7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека
- •7.4. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
- •8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении
- •8.3.1. Пример. Кинетический момент человека
- •8.4. Контрольные вопросы
- •9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
- •9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
- •9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
- •9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
- •9.6. Контрольные вопросы
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях
- •10.1.1. Поступательное движение твердого тела
- •10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы
- •10.3. Общий случай движения свободного твердого тела
- •А = J Fxds.
- •10.6. Примеры вычисления работы
- •10.6.1. Работа силы тяжести
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
- •11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
- •11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
- •11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
- •11.9. Контрольные вопросы
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Это получено с учетом того, что N = Р (медленная ходьба). Так, при L = 0,5 м, / = 0,05 (скользкий лед) период ходьбы т > 1,8 с, что даже при малой длине шага почти в 2 раза превышает период обыч ной ходьбы.
7.4.Контрольные вопросы
1.Сформулируйте теорему о движении центра масс системы.
2.При каких условиях координата центра масс сохраняется?
3.Заданы координаты x^t) для всех точек системы. Чему равна проекция главного вектора внешних сил на ось х!
Глава 8. КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ
В предыдущих главах рассмотрены теоремы о количестве дви жения механической системы и движении ее центра масс. Однако определенный класс задач нс может быть решен с помощью этих теорем. Так, например, при вращении осесимметричного тела во круг неподвижной оси, совпадающей с осью симметрии тела, его центр масс будет все время неподвижен и перечисленные теоремы никакой информации о движении тела не дают. Дополним их теоре мами о моменте количества движения, первоначальные сведения о которых даны в главе 5. Рассмотрим подробнее меры движения, для которых строятся теоремы.
8.1. Момент количества движения материальной точки относительно центра и оси
Рассмотрим материальную точку А массой т, которая движется относительно неподвижной системы координат Oxyz со скоростью и. Вектор количества движения mv направлен так же, как вектор и . Положение точки А определяется ее радиусом-вектором г = ОА, проведенным из неподвижного центра О (рис. 8.1).
Момент количества движения материальной точки относитель но центра равен векторному произведению ее радиуса-вектора, про веденного из центра, на количество движения материальной точки:
(8.1)
Модуль вектора т0(то) равен произведению модулей умно жаемых векторов на синус угла между ними:
m0 (mu ) = rmu sin a.
Как видно из рис. 8.1, угол a = 180°- р . Тогда получим, что rsina = rsinP = AH
m0(mo) = тиА, |
(8.2) |
где h — плечо вектора mu. Направление вектора m0(mu) найдется по правилу векторного произведения. Он направлен перпендику лярно плоскости, в которой лежат векторы г и т о , в ту сторону, от куда кратчайший поворот от вектора г к вектору т о виден происхо дящим против часовой стрелки (см. рис. 8.1).
Момент количества движения материальной точки относитель но оси равен алгебраическому моменту проекции вектора количест ва движения на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (см. рис. 8.1):
(8.3)
Z
а
Рис. 8.1
Знак момента положителен, если с положительного конца оси вращение видно происходящим против часовой стрелки.
На рис. 8.1 показано разложение вектора ши на два составляю щих вектора ших и шоц . Параллельная составляющая шй| момен та относительно оси Oz не создает, и этим объясняется справедли вость формулы (8.3).
Введем плечо ht вектора ших и из (8.3) получим
/яг(шо) = ±отихА,. |
(8.4) |
8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
Из формул (8.2) и (8.4) следует, что (при положительном
шг(ши)) |
|
т0(то) = 2 |
пл. ЛОАВ, |
К _> |
(8.5) |
/я*(то) = 2 |
пл. АОаЬ, |
поскольку площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Треугольник ОаЬ есть проекция треугольника ОАВ на перпендикулярную оси плоскость, поэтому
2 пл. АОаЬ = 2 пл. АОАВ cos у,
где у — угол между плоскостями, в которых лежат эти треугольни ки. Подставляя сюда (8.5), получим соотношение
mz(mu) = m0 (ши) cos у,
т2( т о ) = Прг[шо(ши)].
ТЕОРЕМА. Момент количества движения материальной точки относительно оси равен проекции на эту ось момента количества движения материальной точки относительно любого центра, лежа щего на этой оси.
8.1.2. Аналитические выражения моментов вектора количества движения относительно коордипатных осей
Момент количества движения материальной точки относитель но центра (8.1) представим в виде определителя: