Методы вычислительной математики

Множество M банахова пространства X называется слабо компактным, если из любой (бесконечной) последовательности его элементов можно выбрать слабо фундаментальную (в смысле слабой сходимости) последовательность.

Нормированное пространство X называется сепарабельным, если в нем существует счетное множество, плотное в X.

Пространство H со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в смысле сходимости по норме, порожденной скалярным произведением.

Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство M. Согласно теореме Рисса1 каждому x H можно поставить в соответствие единственный элемент y M – ортогональную проекцию x на M. Тем самым в H опреде-

лен оператор ортогонального проектирования (для краткости – проектор) y = Px.

~1

Пространство H[a,b] состоит из всевозможных функций u(x), непрерывно

дифференцируемых (верхний индекс возле символа Н показывает, сколько именно раз дифференцируемы функции) на [a, b], со скалярным произведением

(u,v)= ∫b u(x)v(x)dx + ∫b u′(x)v′(x)dx

инормой, соответствующей этому скалярному произведению,

1Рисс Фридьеш [22.1.1880 – 28.2.1956] – венгерский математик. Учился в Цюри-

хе (1897 – 1899), Будапеште (1899 – 1901), Геттингене и Париже (1903 – 1904). В 1916 году стал членом Венгерской академии наук. Профессор университетов в Клуже (1912 – 1919), Сегеде (1920 – 1945), Будапеште (с 1946). Основные труды опубликовал по функциональному анализу. Изучал векторные пространства, исследовал системы линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных, один из основателей теории топологических пространств.

Теорема Ф. Рисса [41]: пусть H – гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала f, заданного повсюду на H, существует единственный элемент

y H такой, что x H x, f = x, y , при этом f = y .

402

ются классы, состоящие из последовательностей { m } ~[1a,b], фундаментальных u H

~1

вH[a,b] в среднем, то есть таких, что

дельности

b

∫[um (x)− un (x)]2 dx →0,

m,n→∞

a

b

∫[um′ (x)− un′ (x)]2 dx →0.

m,n→∞

a

Согласно определению [41] пространства L2 (a,b) существуют функции u(x) L2 (a,b) и w(x) L2 (a,b) такие, что

линейного пространства непрерывно дифференцируемых функций, прини-

мающих на границе значения, равные нулю. H(1a,b) является гильбертовым про-

403

где A – линейный оператор, действующий из плотной в вещественном гильбертовом пространстве X области определения D(A) в то же самое пространство X. Скалярное произведение в X обозначается через (x, y), а соответствующая ему норма – через x. H – еще одно гильбертово пространство со скалярным произ-

ведением [x, y] и нормой ||| x ||| , соответствующей этому скалярному произведению. Пусть выполнены следующие условия:

1. H вложено в X, H D(A), причем в H + H определен билинейный ограниченный функционал a(u, v), то есть вещественнозначная функция, линейная по u при фиксированном v, линейная по v при фиксированном u, такая, что

Оператор, удовлетворяющий условиям 1 и 2, называется H-эллиптическим. x H – обобщенное решение уравнения (П2.1) с H-эллиптическим оператором A,

В H выбирается координатная система ϕi , i =1,∞. Пусть Pm – проектор H на линейное подпространство Hm, натянутое на первые m векторов этой систе-

404

Доказательство. Элемент xm принадлежит Hm и, значит, имеет вид (П2.7). При подстановке в (П2.6) представления (П2.7) и выражения

j=1

всилу билинейности a(u, v) и линейности скалярного произведения получается

вольные постоянные. Следовательно, (П2.6) и (П2.10) эквивалентны. Что и требовалось доказать.

Лемма П2.2. Пусть оператор A является H-эллиптичным. Тогда для всякого m существует единственное галеркинское приближение xm обобщенного решения уравнения (П2.1).

Доказательство. Если a(xm ,vm )= 0 vm Hm , то это верно и при vm = xm . Но тогда в соответствии с (П2.4) условия 2

0 = a(xm , xm )≥ γ ||| xm |||2 ,

откуда следует, что xm = 0. Поскольку однородная задача, получающаяся из (П2.6) при y = 0, имеет лишь тривиальное решение, то задача (П2.8), а вместе с ней и (П2.6), будут однозначно разрешимы. Что и требовалось доказать.

Поскольку v0 фиксировано, u H выражение a(u,v0 ) определяет в H линейный ограниченный функционал. Но тогда, по теореме Рисса, найдется элемент w0 H такой, что a(u,v0 ) = [u, w0 ] u H. Согласно определению слабой сходимости {um } к u0, имеет место

405

a(um −u0 ,v0 )= [um − u0 , w0 ] →0.

m→∞

В(П2.11) оба слагаемых в правой части равенства стремятся к нулю, что

идоказывает утверждение леммы.

Теорема П2.1. Пусть пространство H сепарабельно и оператор A является H-эллиптичным, тогда:

1) для всякого m галеркинское приближение xm обобщенного решения уравнения (П2.1) существует и единственно;

2) обобщенное решение уравнения (П2.1) существует и единственно;

Доказательство. Утверждение 1) теоремы верно в силу леммы П2.2. Для доказательства утверждения 2) используется сепарабельность пространства H. Пусть, как и ранее, ϕi , i =1,∞ – ортонормированный базис в H. v H

Pmv →v , то есть ряд Фурье, построенный для элемента v, сходится к v.

m→∞

Рассматривается последовательность галеркинских приближений {xm }. Полагая

γ ||| xm |||2 ≤ k ||| xm ||| y,

откуда

||| xm |||≤ kγ−1 y .

Значит, последовательность галеркинских приближений {xm } ограничена в H, и тогда она слабокомпактна. Пусть {xm′} – ее подпоследовательность, сходящаяся в H слабо к некоторому элементу x0 H. Если зафиксировать произ-

По лемме П2.3 и свойству непрерывности скалярного произведения имеет место a(x0 ,v)= (y,v). Из произвольности v H следует, что x0 – обобщенное решение уравнения (П2.1).

406

Пусть x0 , x0′ – два обобщенных решения. Для произвольного v H

a(x0 ,v) = (y,v), a(x0′,v)= (y,v).

Вычитание второго тождества из первого дает выражение a(x0 − x0′,v)= 0. Полагая v = x0 − x0′ и используя (П2.4), можно получить

Коэффициент g(t) считается непрерывно дифференцируемым на [0, 1], а коэффициенты c(t) и y(t) – непрерывными на [0, 1]. Пусть на отрезке [0, 1]

ву (П2.5), называется обобщенным решением задачи (П2.13)–(П2.14), где в данном случае

a(x,v)≡ ∫1 g(t)x′(t)v′(t)dt + ∫1 c(t)x(t)v(t)dt ,

1

(y,v) ≡ ∫ y(t)v(t)dt.

0

407

Тождество (П2.5) получается в результате скалярного умножения в L2 (0,1)

уравнения (П2.13) на произвольную функцию v(t) H(10,1) и интегрирования по

частям. Это позволяет понизить требования гладкости к функции x(t), одновременно повысив требования дифференцируемости функции v(t). В качестве ко-

ординатной системы в Hm H(10,1) выбирается система функций (рис. П2.1)

Рис. П2.1. Вид функции ϕi координатной системы

в Hm H(10,1)

408

Для задачи (П2.13)–(П2.14) показано [41], что ее обобщенное решение

в действительности принадлежит C[20,1] . Там же получена оценка, показывающая, что для всякой функции x(t) H(20,1) при m → ∞

x − Pm x H(10,1) = O(1m),

где Pm – проектор в H(10,1) на подпространство кусочно-линейных функций, натянутое на ϕi , i =1,m . Таким образом, из оценки теоремы П2.1 следует сходимость галеркинских аппроксимаций xm к точному решению задачи.

409