Методы вычислительной математики

полученный результат удобно представить в матричной форме в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений

ψi , ψ j , ψk ,

16.3.2. Разрешающие соотношения для функции завихренности

Пусть решение задачи (16.12), то есть функция ψm, найдено; в соответствии с формулами (16.2) вычислены компоненты vx и vy вектора скорости. Невязка уравнения (16.7) на приближенном решении ωm взвешивается по области

Ωp конечного элемента с применением тех же пробных функций ϕq (x, y),

∫[ω′m,t + vxω′m,x + vy ω′m, y − Re−1 (ω′m′,xx + ω′m′, yy )]ϕq dΩ = 0 ,

Ωp

371

Слагаемые, входящие в это выражение, преобразуются с учетом представления приближенного решения ωm,

∫ω′m,t ϕq dΩ = ∑ ω′r,t (t) ∫ϕr ϕq dΩ,

Вводя дополнительное обозначение,

и используя обозначения, принятые при записи системы уравнений (16.12), полученное соотношение можно записать в матричном виде:

[Cp ]{ω′p,t (t)}+ ([Qp ]+ Re−1[Ap ]){ωp (t)}= {Wp }.

Применение разностной схемы Крэнка–Николсона

372

приводит к системе алгебраических уравнений относительно узловых значений

ωi , ωj , ωk ,

16.3.3. Разрешающие соотношения для поля давления

В предположении, что задачи (16.12) и (16.13) решены и функции ψm и ωm определены, компоненты vx и vy вектора скорости найдены в соответствии с выражениями (16.2), для определения поля давления P невязка уравнения (16.9) на решении Pm взвешивается по области Ωp конечного элемента с применением тех же пробных функций ϕq (x, y),

Ωp

Использование обозначения

f= 2v′y,xv′x, y + (v′x,x )2 + (v′y, y )2

ипредставление приближенного решения Pm разложением

Pm (x, y) = ∑Pr ϕr (x, y)

r=i, j,k

позволяют получить систему уравнений для нахождения давления Pm в виде

В матричной записи эта система линейных алгебраических уравнений записывается в форме

373

где

16.3.4. Алгоритм решения задачи

Вычисления начинаются в предположении, что в начальный момент времени t(0) функция завихренности ω = 0 во всей области Ω. Решением системы уравнений (16.12) определяется распределение функции тока ψ в области Ω. По найденному полю ψ с помощью формул (16.2) вычисляются компоненты vx и vy вектора скорости. Это позволяет решить систему уравнений (16.13) и опреде-

лить функцию завихренности ω для момента времени t(1). После этого описанная процедура повторяется вновь. Вычисления продолжаются циклически до достижения требуемого момента времени. При необходимости нахождения стационарного решения задачи вычисления продолжаются, пока для двух последовательных моментов времени t(n) и t(n+1) выполняется условие

ω(n+1) − ω(n ) ≥ ε,

где ε – малое положительное число; как правило, для получения оценки погрешности используется чебышёвская норма, определенная на сеточной области. При найденных полях компонентов vx и vy вектора скорости может быть найдено поле давления P с использованием разрешающих соотношений (16.14).

Пример 16.1. Рассматривается течение вязкой жидкости в замкнутой полости (рис. 16.2). Левая, нижняя и правая стенки полости неподвижны, верхняя крышка движется со скоростью V вправо. Исследовать движение жидкости

в полости.

V

Рис. 16.2. Схема течения жидкости в замкнутой полости

374

Приближенные решения задачи разыскиваются в виде

ψm (x, y) = ψi ϕi (x, y)+ ψ j ϕj (x, y)+ ψk ϕk (x, y),

ωm (t, x, y) = ωi (t)ϕi (x, y)+ ωj (t)ϕj (x, y)+ ωk (t)ϕk (x, y),

где ϕr (x, y) = αr +βr x + γr y, r = i, j, k – линейные в пределах конечного эле-

Для вычисления таких интегралов с линейными пробными функциями ϕi удобно пользоваться формулами [36],

∫(ϕi )q (ϕj )r (ϕk )s dΩ = q!r!s!2S p (q + r + s + 2)!,

Ωp

где Sp – площадь p-го конечного элемента. С учетом1 этого выражения получены матрицы

На рис. 16.3 показана сетка конечных элементов, аппроксимирующая замкнутую полость, занятую жидкостью. Числами обозначены номера узлов (прямой шрифт) и треугольных элементов (курсив).

1 Из выражений (16.2) следует, что при аппроксимации функции тока ψ линейными пробными функциями компоненты vx и vy вектора скорости оказываются постоянными в пределах конечного элемента.

375

На рис. 16.4 представлено поле функции завихренности ω, полученное при расчетах с использованием сетки из 2048 конечных элементов. На рис. 16.5 – изолинии функции тока на сетках с 32, 128, 512 и 2048 конечными элементами.

Рис. 16.4. Изолинии функции завихренности, полученные при расчетах на сетке с 2048 конечными элементами

376

16.2.Установите вид матрицы {Vp } в выражении (16.12). Как выполнять вычисления этого слагаемого?

16.3.Поясните физический смысл слагаемого Re−1 ∫ω′nϕq dΓ, получающе-

Γp

гося при выводе разрешающих соотношений для определения функции завихренности. Как повлияет его присутствие на выполнение процедуры ансамблирования конечных элементов?

16.4. Установите вид матрицы {Wp } в выражении (16.13). Как выполнять вычисление этого слагаемого?

16.5. При каких видах аппроксимации решений ψm и ωm в пределах ко-

нечных элементов возможно нахождение поля давления P при использовании соотношений (16.14)?

378

Подстановка полученного соотношения в интегральное уравнение приводит к выражению

Пусть взвешивающая функция w удовлетворяет уравнению w′xx′ + w = 0,

тогда интегральное выражение преобразуется к более простому виду:

w(x)= Asin(x)+ Bcos(x),

где А и В – константы интегрирования. Подстановка этой функции приводит к выражению

В силу независимости коэффициентов А и В получается система двух алгебраических уравнений относительно искомых значений u~′(0) и u~(1),

380