Методы вычислительной математики

где x = xk − xi = x j − xk = h2 – расстояние между двумя соседними узлами, то

есть шаг сетки. Последнее выражение является конечно-разностной аппроксимацией уравнения (12.12), применяемой в сеточных методах.

Контрольные вопросы и задания

12.1.Сформулируйте идею метода моментов (взвешенных невязок).

12.2.Сформулируйте требования к пробным функциям, используемым

вметоде моментов, и обоснуйте их необходимость.

12.3.Сформулируйте требования к взвешивающим функциям, используемым в методе моментов, и обоснуйте их необходимость.

12.4.Какой смысл вкладывается в название слабая формулировка задачи?

12.5.Что представляет собой слабое решение задачи?

12.6.Какойсмыслвкладывается вназвание обратнаяформулировказадачи?

12.7.При каком условии метод моментов приводит к поиску решения дифференциальной задачи только на границе?

12.8.Приведите классификацию метода моментов (взвешенных невязок).

12.9.При каких условиях метод Галеркина оказывается частным случаем метода моментов?

12.10.При каких условиях метод наименьших квадратов оказывается частным случаем метода моментов?

12.11.При каких условиях метод коллокаций оказывается частным случаем метода моментов?

12.12.При каких условиях метод конечных разностей оказывается частным случаем метода моментов?

291

Функция f(x) представляется в виде разложения

i=1

причем в рассматриваемом случае m = 4. Погрешность представления функции

m

f (x) − ∑aiϕi (x)

i=1

взвешивается в области G с использованием в качестве взвешивающих тех же самых функций ϕk,

Метод моментов требует равенства нулю всех взвешенных на рассматриваемом отрезке погрешностей,

Эти равенства представляют собой систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно четырех искомых коэффициентов ai , i =1,4 ,

разложения (13.1). В соответствии с выражением (13.2) подсчитываются значения интегралов для k = 1:

Аналогично вычисляются остальные интегралы. Подстановка их значений в выражение (13.2) приводит к системе четырех линейных алгебраических уравнений

293

13.1.2. Кусочно-линейные функции

Набор кусочно-линейных функций представлен на рис. 13.3.

294

Если все узлы отрезка [0, 1] перенумеровать, каждая функция ϕi , i =1,5, будет ассоциироваться с i-м узлом, соответствующим ее номеру. В своем узле значение ϕi равно 1, а в соседних эта функция обращается в 0, изменяясь линейно вдоль прилежащих к i-му узлу интервалов. Во всей остальной области пробная функция ϕi тождественно равна 0.

Заданная функция представляется в виде разложения (13.1) при m = 5:

В соответствии с выражением (13.2) определяются значения интегралов,

Вычисление остальных интегралов и подстановка полученных значений в выражение (13.2) приводят к системе пяти линейных алгебраических уравнений относительно ai , i =1,5 ,

295

Решением этой системы уравнений являются коэффициенты разложения a1 = −196, a2 = 596, a3 = 2396, a4 = 5396, a5 = 9596 .

Найденные коэффициенты можно рассматривать как приближенные значения аппроксимируемой функции в узлах сеточной области (рис. 13.4).

Рис. 13.4. Аппроксимация зависимости f (x) = x2 (пунктирная линия) кусочно-линейными пробными функциями (–о–)

Из приведенных примеров следует, что при кусочно-постоянных функциях с каждым конечным интервалом [xi, xj] связана одна базисная функция ϕi(x) (рис. 13.5, а), при кусочно-линейной аппроксимации с тем же интервалом ассоциируются две функции (рис. 13.5, б),

ϕi (x)= (x j − x)h и ϕj (x)= (x − xi )h ,

где h = xj – xi – длина соответствующего интервала.

Рис. 13.5. Кусочно-постоянная (а) и кусочно-линейные (б) базисные функции, ассоциируемые с конечным отрезком [xi, xj]

296

Для второго примера ясен геометрический смысл коэффициентов разложения (13.1) по базисным функциям

f (xi )≈ fm (xi )= aiϕi (xi )+ a j ϕj (xi )= ai ,

то есть ai аппроксимирует значение заданной функции в узле xi разностной сетки. Этот факт широко используется в различных реализациях метода конечных элементов. Рассмотренный способ аппроксимации функций может быть продолжен для получения базисных функций более высоких порядков.

13.1.3. Функции высших степеней

Для построения квадратичной аппроксимации на отрезке [xi, xj] вводится дополнительный узел xk (рис. 13.6), который, как правило, располагается в его центре. Первая функция конструируется в виде

ϕi (x) = αx2 + βx + γ.

Рис. 13.6. Квадратичные пробные функции на отрезке [xi, xj]

Требуется, чтобы она удовлетворяла на выбранном отрезке следующим условиям:

ϕi (xi )=1, ϕi (x j )= 0, ϕi (xk )= 0,

то есть в своем узле обращается в 1, а в соседних должна быть равной 0. Это требование приводит к системе трех линейных алгебраических уравнений

относительно коэффициентов α, β и γ. Определители этой системы

297

ϕi (x)= 2(x − xk )(x − x j )h2.

Эта функция удовлетворяет всем предъявляемым требованиям. Аналогич-

ным образом конструируются пробные функции

ϕj (x) = 2(x − xk )(x − xi )h2, ϕk (x)= −4(x − xi )(x − x j )h2.

Вид этих квадратичных функций, ассоциированных с отрезком [xi, xj], представлен на рис. 13.6. На рис. 13.7 показаны те же функции, ассоциированные с узлами отрезка xi, xj и xk .

Кубические пробные функции, для построения которых внутри отрезка [xi, xj] вводятся два дополнительных узла с координатами xk = (2xi + x j )3

и xq = (xi + 2xj )3 , имеют вид

ϕi (x)= −9(x − xk )(x − xq )(x − x j )2h3 , ϕk (x) = 27(x − xi )(x − xq )(x − x j )2h3 , ϕq (x) = −27(x − xi )(x − xk )(x − x j )2h3 , ϕj (x)= 9(x − xi )(x − xk )(x − xq )2h3

и показаны на рис. 13.8.

Пусть на отрезке [xi, xj] задана естественная координата ξ с началом в центре этого отрезка,

ξ = 2(x − xc )h, xc = (xi + x j )2.

Впределах этого отрезка естественная координата принимает значения

ξ[−1,1]. В этой системе координат пробные функции представляются сле-

дующим образом: линейные

ϕi = (1 − ξ)2, ϕj = (1 + ξ)2;

298

квадратичные

ϕi = ξ (ξ −1)2 , ϕj = ξ(ξ +1)2 , ϕk = (ξ −1)(ξ +1)2;

кубические

ϕi = −9(ξ + 1 3)(ξ −1 3)(ξ −1)16 , ϕj = 9(ξ +1 3)(ξ −1 3)(ξ +1)16,

ϕk = 27(ξ −13)(ξ −1)(ξ + 1)16 , ϕq = −27(ξ +13)(ξ −1)(ξ +1)16.

Вобщем случае для построения на отрезке [xi, xj] системы базисных функций степени p

ϕr (x) = αr x p +βr x p−1…+ ωr , r =1, p +1

следует ввести (помимо узлов xi и xj на концах отрезка) дополнительно p – 1 промежуточных узлов.

Коэффициенты α, β, ..., ω могут быть определены из решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений

Целесообразно использовать для определения базисных функций способ, применяемый при построении полинома Лагранжа,

Очевидно, что в этом случае

1, k = q,

ϕk (xq )=

0, k ≠ q.

13.1.4. Иерархические многочлены

Введенные выше пробные функции обладают существенным недостатком. При необходимости повышения порядка аппроксимации заданной функции, то есть при использовании пробных функций более высокого порядка, приходится полностью перестраивать систему линейных алгебраических уравнений, полу-

300