Методы вычислительной математики

На практике уравнение, содержащее неизвестный поток тепла Q0, как правило, исключается из системы уравнений,

В дальнейшем, после определения всех узловых температур T1, T2 , T3 , T4 , T5 , исключенное из системы уравнение

λT1 h − λT2 h = Wh 2 − QL

может быть использовано для определения теплового потока

Q0 =Wh2 − λT1 h + λT2 h.

В матричной форме преобразованная система уравнений имеет вид

При решении прикладных задач на границе рассматриваемой области могут быть заданы условия конвективного теплообмена, когда, например, на правом конце стержня тепловой поток QL = α(T x=L − T ср ), где α – коэффициент

теплоотдачи с поверхности в окружающую среду с температурой Tср, то есть имеет место граничное условие третьего рода,

λTx′ x=L = −α(T x=L −T cp ).

Для включения этого граничного условия в полученную систему уравнений выполняется замена в последнем уравнении с учетом того, что T x=L = T5 ,

− λT4 h + λT5 h = Wh2 − α(T5 − T ср )

321

−λT4 / h + T5 (λ / h + α) = Wh / 2 + αT cp.

В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений принимает вид

Пример 14.1. Решить полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих исходных данных: длина стального стержня L = 1 м, мощность внутренних тепловых источников W = 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали λ = 70 Вт/м град, α = 30 Вт/м2 град, температура окружающей среды T cp = 20 , T =100 .

При этих условиях система алгебраических уравнений принимает вид

Используя точное решение задачи, можно определить производную

322

Tx′ = −10x7 − 31914 ,

и, подставляя x = 0, определить точное значение теплового потока:

Q x=0 = λTx′ x=0 = −1595 Вт/м2 .

14.1.3. Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями

Для решения той же задачи (14.1)–(14.2) используется квадратичная аппроксимация в пределах одного конечного элемента [xi , x j ] с центральной точ-

кой xk. Как и в предыдущем случае, решение раскладывается по пробным функциям

ϕi = 2(x − x j )(x − xk )h2 , ϕj = 2(x − xi )(x − xk )h2 , ϕi = −4(x − xi )(x − x j )h2 .

Невязка уравнения (14.1), получаемая на решении (14.13), взвешивается с использованием тех же функций ϕi, ϕj и ϕk,

Первое из этих уравнений преобразуется к виду

323

Выполнение аналогичных преобразований с остальными выражениями в формулах (14.14) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Ti, Tj и Tk:

Поскольку

ϕ′i,x = 2(2x − x j − xk )h2 , ϕ′j,x = 2(2x − xi − xk )h2 , ϕ′k,x = −4(2x − xi − x j )h2,

входящие в эту систему уравнений интегралы равны

324

Подстановка найденных значений приводит к системе уравнений

Эта же система в матричной форме принимает вид

Суммирование всех уравнений этой системы приводит к уже известному условию теплового баланса (14.12):

0 = qi + q j −Wh.

Пусть весь стержень аппроксимируется одним конечным элементом. При-

= ~

нимается, что на его левом конце задана температура T x=0 T , а на правом – граничные условия третьего рода

λTx′ x=L = −α(T x=L −T cp ).

Для рассматриваемого случая система уравнений приводится к виду

Пример 14.2. Решить полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих исходных данных: длина стального стержня L = 1 м, мощность внутренних тепловых источников W = 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали λ = 70 Вт/м град, α = 30 Вт/м2 град, температура окру-

325

и имеет решение Ti = 100 (левый конец стержня), Tj = 153/2 (правый конец), Tk = 619/7 (центр стержня). С учетом вида пробных функций (14.3) решение запишется в виде

Tm =Tiϕi +Tj ϕj +Tk ϕk = −5x2 7 − 319x14 +100.

Это выражение является точным решением поставленной задачи.

14.1.4. Использование иерархических многочленов

Для построения решения задачи (14.1)–(14.2) на конечном элементе [xi , x j ]

вводятся локальные координаты ξ, с помощью которых строятся иерархические многочлены

ϕ1 = (1 − ξ)2 , ϕ2 = (1 + ξ)2, ϕ3 = (1 + ξ)(1 − ξ) ,

ϕ4 = ξ(1 − ξ2 ) , ϕ5 = ξ2 (1 − ξ2 )2 , …

Первоначально решение строится в виде

Tm = T1ϕ1 +T2ϕ2 +T3ϕ3 .

Невязка уравнения теплопроводности (14.1) на этом решении взвешивается по области [xi , x j ] поочередно с каждой из функций ϕ1, ϕ2 и ϕ3,

Учитывая, что производные пробных функций равны

ϕ1′,ξ = −12, ϕ′2,ξ =12, ϕ′3,ξ = −2ξ,

можно определить значения интегралов, входящих в эту систему уравнений,

326

1 1 1 1

∫ϕ1′,ξϕ1′,ξdξ =1 2, ∫ϕ1′,ξϕ′2,ξdξ = −1 2, ∫ϕ1′,ξϕ′3,ξdξ = 0, ∫ϕ1dξ =1,

∫ϕ′2,ξϕ1′,ξdξ = −1 2, ∫ϕ′2,ξϕ′2,ξdξ =1 2, ∫ϕ′2,ξϕ′3,ξdξ = 0, ∫ϕ2dξ =1,

∫ϕ′3,ξϕ1′,ξdξ = 0, ∫ϕ′3,ξϕ′2,ξdξ = 0, ∫ϕ′3,ξϕ′3,ξdξ =8 3, ∫ϕ3dξ = 4 3.

−1 −1 −1 −1

Подстановка этих коэффициентов приводит к системе уравнений

−qi − λT1 / 2 + λT2 / 2 − 0 T3 +W = 0,−qj + λT1 / 2 − λT2 / 2 − 0 T3 +W = 0,

0 T1 − 0 T2 −8λT3 /3 + 4W /3 = 0.

В матричной форме эта система уравнений имеет вид

Далее рассматривается вариант аппроксимации решения в виде

Поскольку ϕ′4,ξ = (1 − 3ξ2 )2 , можно определить значения интегралов, которые дополнительно входят во вновь сформированную систему уравнений

327

Подстановка коэффициентов приводит к системе уравнений

которая в матричном представлении имеет вид

Для повышения порядка аппроксимации рассматривается разложение решения задачи (14.1) в виде

Tm =T1ϕ1 +T2ϕ2 +T3ϕ3 + T4ϕ4 +T5ϕ5 .

Выполнение преобразований, аналогичных показанным выше, приводит в конечном итоге к системе линейных алгебраических уравнений

Необходимо отметить, что при аппроксимации решения задачи (14.1)– (14.2) с помощью кусочно-линейного (14.4) и кусочно-квадратичного (14.13) приближений соответствующие системы уравнений (14.9) и (14.15) совершенно различны. Системы уравнений (14.16), (14.17) и (14.18), полученные при аппроксимации решения той же задачи с помощью иерархической системы функ-

328

ций с 3, 4 и 5 слагаемыми соответственно, отличаются дополнительными строками и столбцами (выделены жирным шрифтом). Это означает, что при использовании иерархической системы функций для повышении порядка аппроксимации решения достаточно лишь расширить систему линейных алгебраических уравнений дополнительными слагаемыми.

14.2. Уравнение нестационарной теплопроводности

Рассматривается одномерное уравнение нестационарной теплопроводности для тонкого однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью

Здесь дополнительно введены обозначения: c – удельная теплоемкость, ρ – плотность материала. Как и ранее, с целью упрощения величины W, c, ρ и λ считаются постоянными. Весь отрезок длиной L разбивается на ряд равных отрезков длиной h каждый. Решение задачи на произвольном отрезке [xi, xj] строится с помощью разделения переменных в виде

m

Tm (t, x)= ∑Tk (t)ϕk (x).

k=1

Например, для кусочно-линейной аппроксимации это выражение представляется в форме

где ϕi = (x j − x)h и ϕj = (x − xi )h . Невязка уравнения (14.19), получаемая на решении (14.22), взвешивается с теми же пробными функциями ϕi и ϕj,

Выполняются преобразования первого из этих уравнений,

329

Аналогичные преобразования второго уравнения системы (14.23) приводят к соотношению

В сравнении с системой уравнений (14.6) и (14.7) последние выражения содержат дополнительные слагаемые, которые определяются с учетом вида функций ϕi = (x j − x)h и ϕj = (x − xi )h ,

x∫j cρϕj ϕj dx = cρx∫j (x − xi )2 dx h2 = cρh 3.

330