Методы вычислительной математики

денный анализ разрешимости метода наименьших квадратов может быть сформулирован в виде следующего утверждения.

Теорема 9.2. Если однородная граничная задача (9.27)–(9.28), соответствующая исходной граничной задаче (9.23)–(9.24), имеет только тривиальное решение zm = 0, то система алгебраических уравнений (9.26) метода наименьших квадратов имеет единственное решение.

9.5.2. Сходимость метода наименьших квадратов

Граничная задача (9.23) рассматривается с упрощенными (однородными)

k=1

–приближенное1 решение, получаемое методом наименьших квадратов. Для проведения последующих выкладок вводится обозначение:

L(z) = z′xx′ + pz′x + qz.

Теорема 9.3. Последовательность функций {ym (x)}, получаемых при использовании метода наименьших квадратов, сходится по метрике2 L2 к точно-

му решению y(x), если выполнены условия:

а) граничная задача (9.23), (9.29) имеет единственное решение y(x); б) существует такая константа M > 0, что

z(x) C[2a,b], z(a) = z(b) = 0 , L(z) ≥ M z .

Доказательство. Вводится множество

G = {z(x) C[2a,b] z(a) = 0, z(b)= 0}.

В силу условия а) решение y(x) существует и, следовательно, y G. Поскольку {ϕk } образуют в G замкнутую систему, решение y(x) можно прибли-

1 Очевидно, что при граничных условиях (9.29) пробную функцию ϕ0 можно использовать наряду с остальными ϕk для получения приближения ym .

2 Согласно [8] пространство L2 – совокупность всех вещественных измеримых функ-

ций, заданных и суммируемых с квадратом на отрезке [a, b] : ∫b x2 dt < ∞ . Норма в L2 опреде-

a

ляется через скалярное произведение (x, y) = ∫b xydt в виде x = (x, x)12 .

a

211

Это выражение записано в обозначениях, использованных при построении соотношений метода наименьших квадратов. От замены bk на ak соотношение (9.31) не ухудшится, поскольку коэффициенты ak определяются из условия

m

ных bk). Это означает, что возможна замена ~y на ym = ∑ak ϕk . Отсюда

k=1

L(ym )− L(y) = L(ym − y) < δ.

В силу условия б)

Что и требовалось доказать.

9.6. Метод Ритца1

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение второго порядка (9.16) с граничными условиями (9.17), имеющее единственное решение. Используется функционал

1 Ритц Вальтер [22.2.1878 – 7.7.1909] – немецкий физик и математик. Учился в Цюрихском и Геттингенском университетах. Работал в Лейдене, Тюбингене, Геттингене. Предложил метод приближенного решения вариационных и некоторых краевых задач математической физики.

212

a

для которого следует отыскать минимальное значение на множестве допустимых функций,

а) непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b];

б) удовлетворяющих граничным условиям (9.17).

~( )

Теорема 9.4. Если функция y x доставляет минимальное значение функ-

ционалу (9.32) среди всех допустимых функций, то она является решением гра-

ничной задачи (9.16)–(9.17).

Доказательство. Для функционала (9.32) уравнение Эйлера1 имеет вид

[2 p(x)y′x (x)]x′ − [2q(x)y(x) + 2 f (x)]= 0.

Отсюда следует выражение

[p(x)y′x (x)]x′ − q(x)y(x) = f (x),

которое полностью совпадает с исходным уравнением (9.16). Это означает, что

~( )

удовлетворяющая граничным условиям (9.17) функция y x , на которой достигается минимум функционала (9.32), будет решением исходной задачи. Как и ранее, приближенное решение строится в виде разложения (9.14) в ряд по пробным функциям, удовлетворяющим следующим требованиям:

1)ϕk C[1a,b], k = 0,1, 2, …;

2)функции ϕk линейно независимы на [a, b];

3)функция ϕ0 удовлетворяет граничным условиям (9.13),

остальные функции этой системы – однородным граничным условиям

213

ϕk G = {v(x) C[2a,b] α1v(a) + α2v′x (a)= 0, β1v(b)+ β2v′x (b)= 0};

C jk = −∫b (pϕ′k,xϕ′j,x + qϕk ϕj )dx, a

последнее выражение можно записать в виде

Это выражение позволяет рассматривать функционал Φ(ym ) как функцию m переменных ak , k =1,m . Необходимые условия экстремума функционала

позволяют сформировать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения (9.14) решения в ряд по пробным функциям,

214

m

∑C jk ak = f j , j = 1,m. k=1

Условия существования и единственности решения этой системы алгебраических уравнений устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 9.5. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (9.16) удовлетворяют условиям:

Тогда система алгебраических уравнений метода Ритца имеет единственное решение. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы

9.2.

9.6.1. Сходимость метода Ритца

Предполагается, что y(x) доставляет минимум функционалу (9.32), и для некоторой последовательности1 функций yk (x), k =1,2,…, имеет место

lim Φ(yk ) = Φ(y).

k→∞

Теорема 9.6. Пусть выполнены условия: 1) p C[1a,b]; p(x)≥ p0 > 0, x [a,b];

Применение неравенства Коши–Буняковского3 приводит к выражению

1Такая последовательность функций называется минимизирующей.

2Согласно [8] равномерной называется сходимость последовательности операто-

ров {Uk }, k =1,2... к оператору U по норме Uk −U →0 рассматриваемого пространства.

3 Буняковский Виктор Яковлевич [4.12.1804 – 30.11.1889] – русский математик. В 1825 году защитил диссертацию на степень доктора математики. Преподавал математику и механику в 1-м кадетском корпусе, Морском корпусе, Институте путей сообщения, Петербургском

215

университете. В 1830 году был избран академиком Петербургской академии наук, в 1864 году – ее вице-президентом. Был почетным членом многих русских ученых обществ и университетов.

216

b

= [py′x (yk − y)]ba − ∫(yk − y) (py′x )′x − qy − f dx = 0.

a

Первое слагаемое в этом выражении обращается в нуль, поскольку минимум функционала (9.32) ищется в классе допустимых функций, удовлетворяющих граничным условиям (9.17). Второе слагаемое равно нулю вследствие выполнения исходного уравнения (9.16). Сравнение выражений (9.34) и (9.35) позволяет сделать вывод, что

yk (x)− y(x) ≤ [(b − a) p0 ]12 [Φ(yk )− Φ(y)]12 .

Поскольку {yk (x)} является минимизирующей последовательностью, то

есть Φ(yk ) →Φ(y), из приведенного неравенства следует, что

k→∞

y(x)− yk (x) →0

k→∞

независимо от значения аргумента x. Что и требовалось доказать.

9.7. Сеточный метод решения линейной граничной задачи

Предполагается, что линейная граничная задача (9.23)–(9.24) имеет единственное решение, непрерывное на отрезке [a, b] вместе с производными до четвертого порядка включительно. Идея сеточного метода решения линейной граничной задачи заключается в следующем:

1. Область [a, b] задания дифференциального уравнения заменяется дискретной сеточной областью

Ωn ={xk = a + kh, k = 0,m }, h = (b − a)m.

2.Граничная задача (9.23)–(9.24) заменяется сеточной задачей, то есть производные в дифференциальном уравнении заменяются разностными аналогами; в результате этого исходная задача заменяется системой алгебраических уравнений.

3.Решение системы алгебраических уравнений каким-либо численным методом позволяет определить сеточные (узловые) значения искомой функции.

Разностные аппроксимации первой и второй производных

y′x (xk ) ≈ [y(xk+1 )− y(xk−1 )]2h ,

y′xx′ (xk )≈ [y(xk+1 ) − 2 y(xk )+ y(xk−1 )]h2

позволяют записать разностный аналог дифференциального уравнения (9.23) для каждого внутреннего узла сеточной области Ωm :

217

Поскольку в алгебраических уравнениях (9.36) содержится m + 1 неизвестное сеточное значение искомой функции, необходимо дополнить эту систему еще двумя алгебраическими уравнениями, получаемыми при замене граничных условий (9.24) разностными аналогами:

Теперь система (9.36)–(9.37) содержит m + 1 уравнения и m + 1 неизвестную величину.

9.7.1. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений сеточного метода

Для упрощения исследования разрешимости системы линейных алгебраических уравнений (9.36)–(9.37) рассматривается частный случай

α0 =β0 =1, α1 =β1 = 0 .

Используются обозначения

Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений (9.38) будет доказана, если показать, что соответствующая однородная система алгебраиче-

имеет только тривиальное решение.

Лемма 9.1. Пусть на отрезке [a, b] заданы некоторые числа Y0 ,Y1,Y2 ,…,Ym , среди которых есть неравные между собой, и выполнены условия:

218

Λh (Yk )≥ 0 k =1,m −1.

Тогда среди чисел Y0 ,Y1,Y2 ,…,Ym наибольшее положительное значение принимает либо Y0 , либо Ym .

Доказательство. Пусть, напротив, наибольшее положительное значение Ys = M > 0 достигается внутри отрезка [a, b] при некотором значении

1 ≤ k ≤ m −1, причем либо Yk −1 < M, либо Yk +1 < M . Тогда в силу условия 1 имеет место неравенство

Λh (Yk ) = AkYk +1 + 2BkYk + CkYk −1 < (Ak + Ck )M + 2Bk M = (Ak + Ck + 2Bk )M,

получено противоречие с исходным предположением, что и доказывает лемму. Лемма 9.2. Пусть на отрезке [a, b] заданы числа Y0 ,Y1,Y2 ,…,Ym , среди которых есть неравные между собой, выполнены условия (9.40), а также имеет

место условие

Λh (Yk )≤ 0 k =1,m −1.

Тогда среди чисел Y0 ,Y1,Y2 ,…,Ym наименьшее отрицательное значение принимает либо Y0 , либо Ym. Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству предыдущей леммы 9.1.

Теорема 9.7. Пусть выполнены условия (9.40), тогда однородная система алгебраических уравнений (9.39) имеет только тривиальное решение.

Доказательство. В соответствии с формулами (9.39) выполнены условия лемм 9.1 и 9.2 одновременно. В этом случае наибольшим и наименьшим значениями являются либо z0 , либо zm . Но согласно формуле (9.39) z0 = zm = 0. Это

означает, что и все остальные zk = 0, k =1,m −1. Таким образом, система уравнений (9.39) имеет только тривиальное решение, и поэтому ее определитель отличен от нуля. Следовательно, исходная система линейных алгебраических уравнений (9.38) имеет единственное решение. Что и требовалось доказать.

9.7.2. Оценка порядка погрешности аппроксимации

Для оценки порядка погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностной схемой (9.36) используются разложения решения задачи (9.23)–(9.24) в ряды Тейлора вблизи узла xk разностной сетки:

219

Записанные выражения подставляются в разностный аналог (9.36) дифференциального уравнения (9.23):

ψk =[y(xk+1 )−2y(xk )+ y(xk−1 )]h2 + p(xk )[y(xk+1 )− y(xk−1 )]2h + + q(xk )y(xk ) − f (xk )=

+q(xk )y(xk ) − f (xk )=

=[y′xx′ (xk )+ p(xk )y′x (xk ) + q(xk )y(xk )− f (xk )]+

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с исходным уравнениием (9.23) и поэтому обращается в нуль. Погрешность аппроксимации уравнения (9.23) разностным аналогом (9.36) имеет второй порядок:

9.7.3. Метод прогонки для решения сеточной задачи

Сеточная задача (9.36)–(9.37) записывается с учетом введенных ранее обозначений:

использующее дополнительные переменные uk ,vk , k =1,m . С помощью соотношения (9.43) записывается выражение для yk−1 :

yk−1 = uk yk + vk = uk (uk+1 yk+1 + vk+1 )+ vk .

Два последних выражения подставляются в разностный аналог дифференциального уравнения (9.42):

Ak yk+1 + 2Bk [uk+1 yk+1 + vk+1 ]+ Ck [uk (uk+1 yk+1 + vk+1 )+ vk ] =

220