τ2 (1 − 4σ)λ2 ∑hα−2 ≤1.
α=x, y,z
При весовом коэффициенте σ ≥1
4 имеет место безусловная устойчивость рассмотренной разностной схемы.
11.4. Уравнения эллиптического типа
Для двумерного уравнения Пуассона1
′′ |
′′ |
(11.45) |
uxx + uyy + f (x, y)= 0, x, y G |
требуется отыскать функцию u(x, y), удовлетворяющую уравнению (11.45) в области G и граничным условиям первого рода
|
|
u(x, y)=U (x, y), x, y ∂G1 ; |
(11.46) |
|
y |
второго рода |
|
|
′ |
x, y ∂G2 (11.47) |
|
|
|
|
un (x, y)= −q(x, y), |
|
|
и третьего рода |
|
k+1
k
k–1
x
j – 1 j j + 1
Рис. 11.10. Пятиточечный шаблон разностной схемы
всех внутренних точек сеточной
u′n (x, y) = −α[u(x, y) −U (x, y)],
Последнее выражение можно представить как смешанное граничное условие, включающее комбинацию условий первого рода и второго родов,
u′n (x, y)+ αu(x, y)= αU (x, y), x, y ∂Gα .
С помощью пятиточечного шаблона «крест», изображенного на рис. 11.10, для
области
Ω = {(x j , yk ) x j = jhx , j = 0,n; yk = khy , k = 0,l}, hx = L n, hy = H l ,
строится разностный аналог уравнения (11.45):
(u j−1k − 2u jk + u j+1k ) hx2 + (u jk−1 − 2u jk + u jk+1 ) hy2 + f jk = 0. |
(11.49) |
1 Пуассон Симеон Дени [21.6.1781 – 25.4.1840] – французкий механик, физик, математик. Закончил Политехническую школу в Париже в 1800 году, с 1806 года начал преподавать в этой школе. В 1809 году стал профессором Парижского университета, в 1812 году – членом Парижской академии наук. В 1826 году был избран иностранным почетным членом Петербургской академии наук.
Погрешность аппроксимации уравнения (11.45) разностным аналогом (11.49) оценивается с помощью разложения точного решения в ряды Тейлора,
u(x + , y )= u(x , y )+u′ (x , y )h +u′′ (x , y )h2 2 +
j 1 k j k x j k x xx j k x
′′′ |
3 |
iv |
4 |
5 |
), |
+uxxx (x j , yk )hx |
6 +uxxxx (x j , yk )hx |
24 +O(hx |
u(x − , y )= u(x , y )− u′ (x , y )h + u′′ (x , y )h2 2 −
j 1 k j k x j k x xx j k x
′′′ |
3 |
iv |
4 |
5 |
, |
− u xxx (x j , yk )hx |
6 + u xxxx (x j , yk )hx |
24 + O(hx |
u(x , y + )= u(x , y )+u′ (x , y )h +u′′ (x , y )h2 2 +
j k 1 j k y j k y yy j k y
′′′ |
3 |
iv |
4 |
5 |
), |
+uyyy (x j , yk )hy |
6 +uyyyy (x j , yk )hy |
24 +O(hy |
u(x , y − )= u(x , y )−u′ (x , y )h +u′′ (x , y )h2 2 −
j k 1 j k y j k y yy j k y
′′′ |
3 |
iv |
4 |
5 |
). |
−uyyy (x j , yk )hy |
6 +uyyyy (x j , yk )hy |
24 +O(hy |
Подстановка этих разложений в разностный аналог (11.49) вместо узловых значений искомой функции с учетом вида исходного дифференциального уравнения (11.45) приводит к выражению
ψjk = [u′xx′ (x j , yk )+u′yy′ (x j , yk )+ f (x j , yk )]+
+[uxxxxiv (x j , yk )hx2 
12 + uivyyyy (x j , yk )hy2 
12 + O(hx3 ,hy3 )]=
=uxxxxiv (x j , yk )hx2 
12 + uivyyyy (x j , yk )hy2 
12 + O(hx3 ,hy3 )= O(hx2 ,hy2 ).
Это означает, что погрешность аппроксимации уравнения (11.45) разностной схемой (11.49) имеет второй порядок относительно шагов интегрирования hx и hy. Граничные условия первого рода (11.46) аппроксимируются точно. Для аппроксимации граничных условий второго рода и третьего родов рассматривается схема, представленная на рис. 11.11. Граничное условие (11.47) аппроксимируется разностным выражением
y
Граница ∂G
n – нормаль
γ
k
k–1
x
j–1 j
Рис. 11.11. Аппроксимацияграничных условийвторогоитретьегородов
(u jk − u j−1k )cos γ hx + (u jk − u jk−1 )sin γ hy = −q jk , |
(11.50) |
граничное условие (11.48) – соответствующим ему разностным аналогом |
|
(u jk − u j−1k )cos γ hx + (u jk − u jk −1 )sin γ hy + αu jk = αU jk . |
(11.51) |
Решение системы алгебраических уравнений (11.49) совместно с граничными условиями (11.46) (либо разностными аналогами (11.50), (11.51) граничных условий второго и третьего родов) требует значительных ресурсов ЭВМ. Это приводит к необходимости использования итерационных методов для повышения точности численного решения.
В качестве альтернативы решение исходной задачи может быть найдено как стационарное решение некоторой эволюционной задачи. Например, вместо задачи (11.45)–(11.48) может рассматриваться нестационарное параболическое уравнение
′ |
′′ |
′′ |
|
|
(11.52) |
ut |
= uxx + uyy + f (x, y), x, y G |
с произвольным начальным условием |
|
|
|
u(0, x, y)=U 0 (x, y), |
x, y G |
(11.53) |
и стационарными граничными условиями |
|
u(t, x, y)=U 1 (x, y), |
|
x, y ∂G ; |
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x, y ∂G2 ; |
(11.54) |
un (t, x, y)= −q(x, y), |
|
′ |
|
|
|
(x, y), x, y |
∂G3 . |
un (t, x, y)+ αu(t, x, y)= αU |
1 |
|
|
|
|
|
Для поиска стационарного решения задачи (11.52)–(11.54) могут быть использованы неявная схема
|
− u jk |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
~ |
u jk |
τ = u j−1k − |
2u jk |
+ u j+1k |
hx |
+ u jk −1 − 2u jk |
+ u jk +1 |
|
hy |
+ f jk ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
схема переменных направлений |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
~ |
|
~ |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2(u jk − u jk ) |
τ = (u j−1k − 2u jk + u j+1k ) |
|
− 2u jk + u jk +1 ) |
+ f jk , |
hx |
+ (u jk −1 |
hy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
) hx |
+ u jk−1 − 2u jk + u jk+1 |
hy + f jk ; |
2 u jk − u jk |
τ = (u j−1k − 2u jk |
+ u j+1k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
явная схема |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ (u jk −1 |
− 2u jk + u jk+1 ) |
2 |
+ f jk . |
u jk − u jk |
τ = (u j−1k − 2u jk + u j+1k ) hx |
hy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последняя схема рассмотривается более подробно. Полагая для упрощения, что hx = hy = h , из выражения (11.57) можно определить узловое значение
|
+ u jk +1 − 4u jk + h2 f jk )τ h2. |
(11.58) |
u jk = u jk + (u j−1k + u j+1k + u jk −1 |
Полученная схема условно устойчива при выполнении условия τ ≤ h2 
4. Для быстрейшего достижения стационарного решения следует выбрать шаг интегрирования τ по «фиктивному» времени наибольшим, то есть τ = h2 
4. В этом случае выражение (11.58) после приведения подобных слагаемых принимает форму метода Ричардсона:
|
+ u jk +1 + h2 f jk ) 4 . |
u jk = (u j−1k + u j+1k + u jk−1 |
В частном случае f jk = 0 (разностная схема для уравнения Пуассона) каждая искомая величина uˆ jk оказывается равной среднему значению четырех соседних узловых величин
jk = ( j−1k + j+1k + jk −1 + jk+1 )
u u u u u 4.
Ту же самую расчетную формулу метода Ричардсона можно получить из разностной аппроксимации (11.49) исходного уравнения, если строить на ее основе итерационную вычислительную процедуру:
(u(s−) − 2u(s+1) + u(s+) ) h2 + (u(s)− − 2u(s+1) + u(s)+ ) h2 + f = 0,
j 1k jk j 1k jk 1 jk jk 1 jk
u(s+1) = (u(s−) + u(s+) + u(s )− + u(s )+ + h2 f ) 4 .
jk j 1k j 1k jk 1 jk 1 jk
Итерационный процесс вычислений по полученным формулам ведется до тех пор, пока для двух «соседних» итераций s и s + 1 выполняется условие 
u(s+1) − u(s ) 
> ε, где ε > 0 – малое число, а в качестве меры близости двух реше-
ний может быть взята, например, чебышёвская норма ψ = max ψ jk . Процеду-
j,k
ра метода Ричардсона предполагает размещение в оперативной памяти компьютера одновременно двух массивов для хранения значений u(jks ) и u(jks+1) . Для
экономии вычислительных ресурсов предпочтительнее использование итерационной схемы Либмана, получаемой для той же разностной схемы (11.49),
(u(js−+11k) − 2u(jks+1) + u(js+)1k )
h2 + (u(jks+−11) − 2u(jks+1) + u(jks )+1 )
h2 + f jk = 0,
u(jks+1) = (u(js−+11k) + u(js+)1k + u(jks+−11) + u(jks)+1 + h2 f jk ) 4 . |
(11.59) |
y
u(s ) |
|
12 |
|
u01(s+1) |
u21(s ) |
u10(s+1) |
x |
Рис. 11.12. Реализация итерационной процедуры Либмана
всех искомых величин u(jks+1),
Расчеты в этом случае выполняются следующим образом (рис. 11.12). Пусть величины u01(s+1) и u10(s+1) известны из граничных условий (11.46), а значения u12(s ) и u21(s ) определены
на предыдущей итерации. Тогда, согласно выражению (11.59), можно определить величину
u11(s+1) = (u01(s+1) + u21(s) + u10(s+1) + u12(s) + h2 f11 )
4.
Затем вычисляются
u21(s+1) = (u11(s+1) + u31(s) + u20(s+1) + u22(s) + h2 f21 )
4, u31(s+1) = (u21(s+1) + u41(s) + u30(s+1) + u32(s ) + h2 f21 )
4
и так далее, то есть выполняются вычисления j = 0,n вдоль оси Ox при k = 1. Аналогично оп-
ределяются все u(jks+1) , j = 0,n , второго (k = 2), третьего (k = 3) и последующих слоев, пока не будут определены все искомые узловые величины.
Выражение (11.59) преобразуется,
u(jks+1) = u(jks) + (u(js−+11k) + u(js+)1k + u(jks+−11) + u(jks )+1 + h2 f jk − 4u(jks) )
4 ,
и вводится релаксационный параметр ω:
u(jks+1) = u(jks) + ω(u(js−+11k) + u(js+)1k + u(jks+−11) + u(jks)+1 + h2 f jk − 4u(jks ) )
4 , u(jks+1) = (1 − ω)u(jks) + ω(u(js−+11k) + u(js+)1k + u(jks+−11) + u(jks)+1 + h2 f jk )
4.
Полученное выражение представляет собой метод последовательной верхней релаксации. Метод сходится при условии 1 ≤ ω≤ 2. С точки зрения быстроты достижения стационарного решения исходной задачи оптимальное значение релаксационного параметра для прямоугольной области размером (hx n × hyl)
согласно [33] определяется выражением
ω0 = 2(1 − 
1 − ξ)
ξ, где ξ = [cos(π/ n)+ β2 cos(π/ s)]
(1 + β2 ), β = hx 
hy.
Контрольные вопросы и задания
11.1.Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (11.6) дифференциального уравнения (11.1).
11.2.Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (11.6) дифференциального уравнения (11.1) в случае, когда v < 0.
11.3.Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (11.8) дифференциального уравнения (11.1).
11.4.Проверьте условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (11.8) дифференциального уравнения (11.1) в случае, когда v < 0.
11.5.Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации дифференциального уравнения (11.1) разностной схемой, получаемой для шаблона, изображенного на рис. 11.1, г.
11.6.Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации дифференциального уравнения (11.1) разностной схемой, получаемой для шаблона, изображенного на рис. 11.1, г для случая, когда v < 0.
11.7.Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (11.9) дифференциального уравнения (11.1). Разложение точного решения в ряд Тейлора в этом случае целесообразно производить для окрестности центра ячейки.
11.8.Определите условия устойчивости по начальным данным и правой части, а также порядок аппроксимации разностной схемой (11.9) дифференциального уравнения (11.1) для случая, когда v < 0. Воспользуйтесь указанием
кпредыдущему заданию.
11.9.Укажите условия сопряжения краевых условий (11.11).
11.10.Укажите условия разрешимости системы алгебраических уравне-
ний (11.12).
11.11.Покажитеусловиясопряжения граничныхиначальныхусловий(11.14).
11.12.Покажите условия существования и единственности решения системы уравнений (11.15). Воспользуйтесь для анализа теоремой 9.1.
276
11.13.Определите порядок аппроксимации дифференциального уравнения (11.13) разностной схемой (11.16).
11.14.Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (11.13) разностнойсхемой(11.17) иубедитесьвеебезусловнойустойчивости.
11.15.Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (11.13) разностной схемой (11.18) и условия ее устойчивости.
11.16.Запишите условия сопряжения для краевых условий (11.20).
11.17.Проверьте порядок аппроксимации схемой (11.22) дифференциального уравнения (11.19) и условия ее устойчивости. Определите условия устойчивости этой схемы в случае использования варианта Крэнка–Николсона.
11.18.Проверьте порядок аппроксимации схемой (11.23) дифференциального уравнения (11.19) на каждом полушаге и для всего шага, а также условия
ееустойчивости.
11.19.Предложите варианты замены одномерных дифференциальных задач (11.25) и (11.26), аппроксимирующих двумерную задачу (11.19), разностными схемами. Оцените их порядки аппроксимации и условия устойчивости.
11.20.Определите условия устойчивости схемы Крэнка–Николсона с помощью метода Неймана.
11.21.Полагая f(t, x) = 0 в уравнении (11.27), определите, при каком условии порядок его аппроксимации схемой (11.30) становится ψij = O(h4 ,τ4 ).
11.22. Оцените порядок аппроксимации разностными схемами (11.31)
и(11.32) начального условия ut′(0, x)= V (x).
11.23.Оцените порядок аппроксимации дифференциального уравнения (11.27) разностной схемой (11.33) и проверьте условие (11.35) ее устойчивости.
11.24.Оцените порядок аппроксимации разностной схемой (11.34) дифференциального уравнения (11.27) и проверьте условие (11.35) ее устойчивости.
11.25.Оцените порядок аппроксимации разностной схемой (11.40) дифференциального уравнения (11.36) и проверьте условие (11.41) ее устойчивости.
11.26.Оцените порядок аппроксимации разностной схемой (11.42) дифференциального уравнения (11.36) и определите условие ее устойчивости.
11.27.Поясните геометрический (физический) смысл замены системы уравнений (11.42) системой уравнений (11.44).
11.28. Проверьте устойчивость разностного уравнения (11.49) по отношению к возмущениям правой части.
11.29. |
Покажите, |
что |
разностный |
аналог |
(11.50) |
граничного |
усло- |
вия (11.47) |
имеет первый порядок аппроксимации. Предложите схему аппрок- |
симации второго порядка для этого граничного условия. |
|
|
11.30. |
Покажите, |
что |
разностный |
аналог |
(11.51) |
граничного |
усло- |
вия (11.48) |
имеет первый порядок аппроксимации. Предложите схему аппрок- |
симации второго порядка для этого граничного условия.
11.31.Проверьте условия устойчивости, порядок аппроксимации и оцените сходимость решения разностного уравнения (11.55).
11.32.Проверьте условия устойчивости, порядок аппроксимации и оцените сходимость решения разностного уравнения (11.56).
11.33.Проверьте условия устойчивости, порядок аппроксимации и оцените сходимость решения системы разностных уравнений (11.57).
11.34.Разработайте способ реализации алгоритма Либмана (11.59) при заданных граничных условиях типа (11.47) или (11.48).
12.МЕТОД МОМЕНТОВ (ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК)
Впоследнее время для решения обширного класса научных, инженерных
иконструкторских проблем получил широкое распространение метод моментов (взвешенных невязок), частными случаями которого оказываются многие известные методы решения задач математической физики, например методы Галеркина, наименьших квадратов, подобластей, потоков и целый ряд других.
Метод конечных элементов, разработанный в работах О. Зенкевича1, Р. Галлагера, К. Моргана, Д. Норри и Ж. Де Фриза, П. Роуча, К. Флетчера, является, по-видимому, одним из наиболее распространенных способов решения прикладных задач при выполнении прочностных расчетов, изучении тепловых
игазодинамических процессов, исследовании упругого, вязкого и пластического состояния твердых деформируемых тел, в горной и строительной механике
имногих других случаях. Наглядность метода, простота геометрического описания конструкций, элементов деталей машин и механизмов, имеющих сложные формы, универсальность учета граничных условий сделали его весьма популярным среди широкого круга специалистов, занятых решением инженерных задач. На основе метода конечных элементов созданы многие прикладные про-
граммные комплексы |
для решения конструкторских задач, возникающих |
в машиностроительной, |
авиационной, судостроительной, автомобильной про- |
мышленности.
Метод граничных элементов появился как результат развития идей, лежащих в основе метода конечных элементов. Он базируется на понятии фундаментального решения краевой задачи, в которой точечный источник задается с помощью δ-функции Дирака. В этом случае конечные элементы используются для аппроксимации границы области, а аппарат классических интегральных уравнений применяется для отыскания решения внутри рассматриваемой области. Этот метод широко применяется для решения задач механики жидкостей
1 Зенкевич Ольгерд Сесил [р. 18.05.1921] – английский ученый-механик, один из авторов метода конечных элементов (1967). В 1943 году защитил диссертацию на степень бакалавра в Имперском колледже, в 1945 году – на степень доктора философии. В 1965 году получил почетную степень доктора наук Лондонского университета. Преподавал в Эдинбургском университете в период с 1949 по 1957 год. Профессор кафедры гражданской техники Северо-западного университета штата Иллинойс с 1957 по 1961 год, заведующий кафедрой гражданского строительства университета Уэльса с 1961 по 1988 год, является почетным профессором с 1988 года. Почетный доктор наук университетов Лиссабона (1972), Шотлан-
дии (1987), Вены (1993).
279
и газа, упругости, вязкоупругости и пластичности, в численных исследованиях других научных и технических проблем.
Применение метода граничных элементов в механике деформируемого твердого тела позволило найти решения сложнейших инженерных задач. В настоящее время аппарат метода граничных элементов хорошо изучен и представлен в работах Дж. Коннора, С. Крауча, А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского, К. Бреббиа1 и других ученых. Классификация методов взвешенных невязок
рассматривается на примере уравнения Пуассона |
|
u = f , |
x Ω |
(12.1) |
с граничными условиями |
|
|
u =U , |
x ΓU , |
(12.2) |
′ |
x ΓQ , |
(12.3) |
un = Q, |
где Γ = ΓU + ΓQ – граница области Ω (в общем случае Ω – часть трехмерного
пространства, x – радиус-вектор произвольной точки этой области). Решение задачи (12.1)–(12.3) разыскивается в виде конечной суммы
i=1
сиспользованием пробных функций ϕi (x), i =1, 2, …; ai , i =1,m , – коэффици-
енты, подлежащие определению. Предполагается, что функции ϕi(x) выбраны таким образом, чтобы решение, представленное в форме (12.4), точно удовлетворяло граничным условиям (12.2) и (12.3). В этом случае коэффициенты ai , i =1,m , должны быть найдены из условия удовлетворения решения um исходному дифференциальному уравнению2.
Поскольку разложение (12.4) строится с использованием конечной системы пробных функций, решение um получается приближенным и при подстановке в исходное дифференциальное уравнение (12.1) образует невязку
1 Бреббиа Карлос Альберто [р. 13.12.1948] – английский ученый-механик, один из основоположников метода граничных элементов. В 1972 году защитил диссертацию на степень доктора философии в Саутгемптонском университете. С 1994 года является почетным доктором наук Бухарестского университета. Преподавал в Саутгемптонском университете в период с 1970 по 1975 год. Профессор Принстонского университета с 1975 по 1979 год, профессор Калифорнийского университета с 1979 по 1981 год, с 1981 года по настоящее время – директор технологического института в Уэссексе.
2 Такой метод построения решения условно называется внутренним.
