Методы вычислительной математики

чаемую из соотношений (13.2). Это видно из сравнения систем уравнений, получаемых при аппроксимации функции вида x2 кусочно-постоянными (13.3) и кусочно-линейными (13.4) пробными функциями.

Целесообразно так сконструировать систему пробных функций, чтобы при повышении порядка аппроксимации (за счет добавления функций более высокой степени) новая система алгебраических уравнений типа (13.2) формировалась на основе уже имеющейся системы только за счет добавления к ней новых столбцов и строк. Построение такой иерархической системы многочленов для произвольного отрезка [xi, xj] начинается с уже известных линейных функций

ϕ1 = (1 − ξ)2 , ϕ2 = (1 + ξ)2.

Следующая пробная функция строится на основе полинома второй степени,

ϕ3 = α + βξ + γξ2.

Следует потребовать, чтобы в своем узле xc (ξ = 0) эта функция была равна 1, а в соседних узлах xi (ξ = –1) и xj (ξ = 1) – нулю, то есть

ϕ3 (−1) = α − β + γ = 0, ϕ3 (0) = α =1, ϕ3 (1) = α + β + γ = 0.

Решение этой системы уравнений определяет функцию

ϕ3 = 1− ξ2 .

Коэффициенты разложения, стоящие при первых трех функциях, будут сохранять свой геометрический смысл, аппроксимируя значения исходной функции в точках xi, xj и xc соответственно. Для построения четвертой функции используется кубический полином

ϕ4 = α + βξ + γξ2 + δξ3 ,

коэффициенты которого определяются решением системы уравнений

ϕ4 (−1) = α −β + γ − δ = 0,

ϕ (0) = α = 0,

4

ϕ4 (1) = α + β + γ + δ = 0,

ϕ′ (0) = β =1.

4

301

Отсюда следует, что четвертая функция имеет вид

ϕ4 = ξ − ξ3 .

Аналогично строится пробная функция

ϕ5 = ξ2 (1 − ξ2 )2 ,

и так далее. Вид пробных функций этой системы показан на рис. 13.9, а. На рис. 13.9, б показан вид пробных функций еще одной иерархической системы,

а

б

Рис. 13.9. Иерархическая система пробных функций на отрезке [xi, xj]

При дифференцировании функций этой системы для четных номеров получается

d k −1ϕk / dξk −1 = d k −1 [(ξk −1)k!] dξk −1 = k(k −1) … 2ξk(k −1) … 2 = ξ,

для нечетных –

d k −1ϕk / dξk −1 = d k −1[(ξk − ξ)k!] dξk −1 = ξ.

Далее, как для четных, так и для нечетных номеров, d k ϕk dξk =1. Это означает, что

302

то есть все производные, кроме одной, обращаются в нуль при ξ = 0. Далее, для разложения (13.1) получается

Следовательно, при q > 2 коэффициент aq аппроксимирует значение производной q-го порядка функции fm в точке ξ = 0.

В прикладных задачах математической физики при использовании метода моментов часто встречаются интегралы вида

В этом случае удобно пользоваться полиномами Лежандра1

ϕ5 = 15ξ4 −18ξ2 + 3, ϕ6 = 7ξ5 −10ξ3 + 3ξ, …,

для которых

∫1 ϕ′i,ξϕ′j,ξdξ = 0, i ≠ j.

−1

Рис. 13.10. Система полиномов Лежандра на отрезке [xi, xj]

1Лежандр Адриен Мари [18.9.1752 – 10.1.1833] – французский математик. Обосновал

иразвил теорию геодезических измерений, первым открыл и применил в вычислениях метод наименьших квадратов. Доказал приводимость эллиптических интегралов к каноническим формам, нашел их разложения в ряды, составил таблицы их значений. В 1783 году стал членом Парижской академии наук.

303

Использование этих полиномов позволяет упростить формирование и решение системы алгебраических уравнений. Вид полиномов Лежандра приведен на рис. 13.10.

13.2. Функции двух переменных

13.2.1. Треугольные конечные элементы: линейная аппроксимация

Пусть вершины треугольного конечного элемента с вершинами i, j и k на плоскости имеют координаты {xi, yi}, {xj, yj}, {xk, yk} (рис. 13.11). Для такого конечного элемента можно построить три пробные функции:

ϕi(x, y), ϕj(x, y) и ϕk(x, y). Построе-

ние кусочно-линейной пробной функции, определенной на этом элементе, выполняется в виде

ϕi (x, y)= αi + βi x + γi y

Удобно сконструировать эту функцию таким образом, чтобы в своем узле эта функция была равна 1, а в двух других

обращалась в 0. Это будет означать, что коэффициенты разложения какойлибо функции f(x, y) по системе функций ϕi(x, y), ϕj(x, y) и ϕk(x, y) будут аппроксимировать значение f(x, y) в соответствующих узлах, как это было в случае функции одной переменной. Система уравнений относительно коэффициентов αi, βi и γi имеет вид

Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений соответственно равны

304

в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Искомые коэффициенты

αi = (x j yk − xk y j ) , βi = (y j − yk ) , γi = (xk − x j ) .

Таким же способом строятся еще две пробные функции, ϕj и ϕk, обладающие аналогичными свойствами,

ϕj = α j + βj x + γ j y , ϕk = αk + βk x + γk y;

13.2.2. Треугольные конечные элементы: квадратичная аппроксимация

Для треугольного конечного элемента с шестью узловыми точками (рис. 13.12) квадратичные пробные функции конструируются в виде

ϕi = αi + βi x + γi y + δi xy + ξi x2 + ςi y3 ,

коэффициенты αi, βi, γi, δi, ξi и ζi определяются из условий

305

δ = 4(xk − x j )(y j − yk ), ξ = 2(y j − yk )2 , ς = 2(x j − xk )2

позволяют вычислить искомые коэффициенты:

δi = 4(xk − x j )(y j − yk )[xk (y j − yi )+ x j (yi − yk )+ xi (yk − y j )]2 ,

ξi = 2(y j − yk )2 [xk (y j − yi )+ x j (yi − yk )+ xi (yk − y j )]2 , ςi = 2(x j − xk )2 [xk (y j − yi )+ x j (yi − yk ) + xi (yk − y j )]2 .

306

На рис. 13.13 показаны квадратичные пробные функции, определенные для треугольного конечного элемента, изображенного на рис. 13.12.

Рис. 13.13. Некоторые квадратичные пробные функции на треугольном конечном элементе

Аналогично вычисляются коэффициенты для остальных пробных

307

308

309