Ψ |
|
|
|
100 |
|
|
|
10 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0,1 |
|
|
|
0,01 |
|
|
N |
|
|
N |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
Рис. 17.4. Зависимость погрешности численного решения |
от общего числа N граничных элементов
17.2. Построение фундаментального решения
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение
L(u) = 0.
Собственные функции φn, удовлетворяющие оператору L, определяются соотношением
L(φn ) = λnφn,
где λn – собственные значения.
Пример 17.5. Для дифференциального уравнения u′xx′ = 0 найти собственные функции.
Собственными функциями для этого уравнения являются, например, φn = Anenx , n =1, 2, …. Действительно,
φ′n′,xx = An n2enx = n2φn ,
причем собственные значения λn = n2 , n =1, 2, …. Для этого же уравнения имеется другая система собственных функций:
ψn = An sin(nx)+ Bn cos(nx), n = 1, 2, …
ψ′n′,xx = −An n2 sin(nx) − Bn n2 cos(nx) = −n2φn ,
λn = −n2 , n =1, 2, ….
391
Пример 17.6. Построить собственные функции для дифференциального уравнения, заданного в области Ω ={x, y x [− a,a], y [− b,b]},
u = 0
с однородными граничными условиями
u(− a, y) = u(a, y)= u(x, − b)= u(x,b) = 0.
Собственными функциями для этого уравнения являются
φn = An sin(nπx
a)sin(nπy
b), n =1, 2, …
Подстановка этого выражения в исходное уравнение дает
φ = φ′n′,xx + φ′n′, yy = − An n2 π2 sin(nπx
a)sin(nπy
b)
a2 − An n2 π2 sin(nπx
a)sin(nπy
b)
b2 =
= −n2π2 (a−2 + b−2 )A sin(nπx a)sin(nπy b)= −n2π2 |
(a−2 |
+ b−2 )φ |
n |
, |
n |
|
|
|
λn = −n2π2 (a−2 + b−2 ), n =1, 2, … |
|
|
|
|
Для построения фундаментального решения уравнения |
|
|
|
L(ψk )= δ(x − xk ) |
|
|
|
(17.7) |
может применяться следующий конструктивный алгоритм. Пусть имеется замкнутая ортонормированная система собственных функций φn , n =1,∞ для линейного дифференциального оператора L. Вводится скалярное произведение
(u,v)Ω = ∫uvdΩ,
Ω
тогда коэффициенты разложения функции δ(x − xk ) в ряд Фурье по этой системе определяются выражением
αp = (δ(x − xk ), φp (x))Ω = ∫δ(x − xk )φp (x)dΩ = φp (xk ).
Ω
Это означает, что сама δ-функция представима в виде
∞ |
∞ |
δ(x − xk )= ∑αpφp (x) = ∑φp (xk )φp (x). |
p=1 |
p=1 |
Пример 17.7. Представить функцию δ(x) на отрезке [–π, π] с помощью ряда Фурье.
392
Ряд Фурье для δ-функции имеет вид
(x xk ) a0 
2 ∞ [ap cos(px)+ bp sin(px)],
δ − = + ∑
p=1
где коэффициенты ap, bp определяются формулами Эйлера–Фурье
ap = π−1 ∫π δ(x − xk )cos(px) dx = π−1 cos(pxk ),
−π
bp = π−1 ∫π δ(x − xk )sin(px)dx = π−1 sin(pxk ), p = 0,∞.
−π
Пусть для определенности xk = 0, тогда
ap = π−1, bp = 0, p = 0,∞
,
и δ-функция представляется разложением
∞
δ(x)= (2π)−1 + π−1 ∑cos(px).
p=1
Очевидно, что в точке x = 0 функция обращается в бесконечность,
|
δ(0)= (2π)−1 |
∞ |
∞ |
|
+ π−1 ∑cos0 = (2π)−1 |
+ π−1 ∑1 = ∞. |
|
|
p=1 |
p=1 |
Интеграл от этого ряда равен |
|
π |
π |
∞ π |
∞ |
∫δ(x)dx = (2π)−1 ∫dx + π−1 ∑ ∫cos(px)dx =1 + π−1 ∑sin(px) p −ππ =1. |
−π |
−π |
p=1 −π |
p=1 |
На рис. 17.5 показано поведение ряда Фурье для δ-функции при различных p вблизи точки x = 0.
Рис. 17.5. Ряды Фурье для δ-функции при p = 7 (а), p = 25 (б), p = 250 (в) и p = 10000 (г) вблизи точки x = 0
Рис. 17.5. Окончание
Возможно разложение искомого фундаментального решения ψk(x) в ряд Фурье по той же замкнутой ортонормированной системе собственных функций φn , n =1, ∞ ,
∞
ψk (x) = ∑βqφq (x).
q=1
Подстановка разложения функции ψk(x) в оператор L приводит в силу его линейности к выражению
|
∞ |
|
∞ |
∞ |
L(ψk )= L |
∑βqφq (x) |
= ∑βq L(φq (x))= ∑βqλqφq (x). |
q=1 |
|
q=1 |
q=1 |
С учетом этого уравнение (17.7) приводится к виду
∞ |
∞ |
∑βqλqφq (x) = ∑φp (xk )φp (x). |
q=1 |
p=1 |
В силу независимости собственных функций φq , q =1,∞ имеет место
βqλq = φq (xk ), |
q = |
|
|
. |
1,∞ |
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
βq = φq (xk ) λq , |
q = |
|
, |
1,∞ |
и фундаментальное решение уравнения (17.7) принимает вид
∞
ψk (x) = ∑φq (xk )φq (x)/ λq .
q=1
Контрольные вопросы и задания
17.1.Получите разрешающие соотношения метода граничных элементов
сиспользованием метода моменов (на примере уравнения Пуассона).
17.2.Дайте определение фундаментального решения краевой задачи.
17.3.Для чего используется δ-функция Дирака при получении фундаментального решения заданного дифференциального уравнения?
17.4.Обоснуйте необходимость применения фундаментального решения
вметоде граничных элементов.
17.5.Покажите, что функция ψk = ln(r) 2π является фундаментальным
решением двумерного уравнения ψk = δ(x − xk ).
17.6.Предложите систему собственных функций для дифференциального уравнения u′xx′ + u = 0.
17.7.Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения u′xx′ + u = 0.
17.8.Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 17.4.
17.9.Постройте фундаментальное решение для дифференциального уравнения из примера 17.5.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. δ-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
В различных вопросах математического анализа термин функция приходится понимать с различной степенью общности. В ряде случаев классическое определение функции как правила, ставящего каждому значению x соответствующее значение f(x) из области определения этой функции, оказывается недостаточным.
Например, распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако если на прямой имеются отдельные точки, несущие сосредоточенную положительную массу, то плотность такого распределения не может быть описана никакой обычной функцией. Применение классического аппарата математического анализа для решения целого ряда задач приводит к невозможности выполнения некоторых операций, когда функцию, не имеющую производной, невозможно продифференцировать, если эту производную понимать в обычном смысле. Оказывается, что подобные затруднения можно преодолеть введением понятия обобщенной функции. В физике интуитивное понятие обобщенной δ-функции введено и используется достаточно давно, значительно раньше, чем была построена строгая математическая теория обобщенных функций.
Расширение понятия функции
Пусть f – фиксированная функция одной переменной, интегрируемая на каждом конечном интервале; ϕ – непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала1. Каждой функции ϕ с помощью фиксированной функции f можно сопоставить число
∞ |
|
( f ,ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx. |
(П1.1) |
−∞
Иначе говоря, f можно рассматривать как линейный функционал на некотором пространстве финитных функций. Однако функционалами вида (П1.1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве. Сопоставляя каждой функции ϕ ее значение в точке x = 0, можно получить функционал, не представимый в виде (П1.1). Таким образом, функции f естест-
1 Такие функции называются финитными.
396
венным образом включаются в некоторое более широкое множество – совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.
Пространство основных функций
Пусть K – совокупность всех финитных функций ϕ, имеющих непрерывные производные всех порядков. Вводится понятие сходимости: последовательность {ϕn } элементов из K называется сходящейся к ϕ K, если существует
интервал, вне которого все ϕn = 0 , и последовательность производных {ϕ(nk,x)…x }
порядка k (k = 0, 1, 2, …) сходится на этом интервале равномерно к ϕ(xk…) x . Линейное пространство с такой сходимостью называется основным, а его элемен-
ты – основными функциями.
Обобщенные функции
Обобщенной функцией, заданной на прямой − ∞ < x < ∞ , называется всякий непрерывный функционал T(ϕ) на основном пространстве K. При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что T (ϕn )→T (ϕ), если последовательность ϕn сходится к ϕ в основном пространстве K. Всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция f порождает некоторую обобщенную функцию. Выражение
∞ |
|
T (ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx |
(П1.2) |
−∞
есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, а все прочие, не представимые в виде (П1.2), – син-
гулярными. В качестве примера служит δ-функция, определяемая в виде
T (ϕ)= ϕ(0)
и ставящая в соответствие функции ϕ ее значение в точке x = 0. Это непрерывный линейный функционал на K, то есть обобщенная функция. Этот функционал обычно записывается в виде
∞
T (ϕ)= ∫δ(x)ϕ(x)dx,
−∞
причем под δ(x) понимается функция, равная нулю при всех x ≠ 0 и обращающаяся в точке x = 0 в бесконечность, так что
∞
∫δ(x)dx =1.
−∞
Очевидно, если ϕ ≡1, то
∞
(δ,ϕ)= ∫δ(x)1dx = (δ,1) =1(0)=1.
−∞
δ-Функция Дирака1 есть обобщенная функция, определенная на K. Еще один пример – смещенная δ-функция. Пусть
T (ϕ) = ϕ(a).
Как и в предыдущем случае, этот функционал можно представить в виде
∞
T (ϕ) = ∫δ(x − a)ϕ(x)dx.
−∞
Дифференцирование обобщенных функций
Пусть T – функционал на K, определяемый непрерывной функцией f,
∞
T (ϕ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx.
−∞
Производной функционала T называется функционал Tx′, определяемый выражением
∞
Tx′(ϕ) = ∫ f ′(x)ϕ(x)dx.
−∞
Интегрирование по частям с учетом того, что каждая основная функция ϕ обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, дает выражение
∞
Tx′(ϕ)= ∫ f ′(x)ϕ(x)dx
−∞
1 Дирак Поль Адриен Морис [8.8.1902 – 20.9.1984] – английский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. В 1932 году избран членом Лондонского королевского общества, в 1931 – иностранным членом АН СССР и ряда других зарубежных академий и научных обществ. В 1932 году стал профессором Кембриджского университета. В 1933 году ему присуждена Нобелевская премия. Основные труды в математике – по функциональному анализу и математической физике (уравнение Дирака, функция Дирака, статистика Ферми–Дирака).
Таким образом, получено выражение для производной функционала Т, в котором производная функции f не используется. Отсюда следует, что производной Tx′ обобщенной функции является функционал, определяемый выраже-
нием
Tx′(ϕ) = −T (ϕ′)
.
Поскольку ϕ имеет непрерывные производные любых порядков, то функционал, определяемый этим соотношением, линеен и непрерывен, то есть является обобщенной функцией. Аналогично определяются вторая, третья и прочие производные. Из определения следует, что всякая обобщенная функция имеет производные всех порядков.
Пример П1.1. Пусть f – регулярная (обычная) функция, производная которой существует и непрерывна. Определить производную этой функции как производную обобщенной функции.
Производная функции f как производная обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле, поскольку
Tx′(ϕ)= −T (ϕ′)= −( f , ϕ′)= ( f ′, ϕ).
Пример П1.2. Найти производную функции Хевисайда1
1, x > 0, h(x) 0, x ≤ 0,
которая определяет линейный функционал
∞
(h,ϕ) = ∫ϕ(x)dx
0
.
В соответствии с определением производной обобщенной функции
1 Хевисайд Оливер [18.5.1850 – 3.2.1925] – английский физик и инженер. В 1891 году избран членом Лондонского королевского общества. Разработал метод символического (операционного) исчисления для решения сложных математических задач механики, электротехники, автоматики. Одновременно с Дж. Гиббсом объединил векторные представления У. Гамильтона и Г. Грассмана в векторное исчисление в его современном виде. Ввел термин орт и название набла для оператора Гамильтона , предложил обозначать векторы жирными символами.
∞
(h′,ϕ)= −(h,ϕ′) = −∫ϕ′(x)dx = ϕ(x)0∞ = ϕ(0)− ϕ(∞)= ϕ(0),
0
поскольку ϕ обращается в нуль на бесконечности. Таким образом, производная функции Хевисайда есть δ-функция.
Из примеров П1.1 и П1.2 следует, что если f – функция, имеющая в точках x1, x2, … скачки, равные h1, h2, …, дифференцируемая в обычном смысле в остальных точках, то производная от нее как от обобщенной функции представляет собой сумму обычной производной fx′ (в тех точках, где она существует)
и выражения вида ∑hiδ(x − xi ).
i
Пример П1.3. Определить производную x как обобщенной функции.
0∞
x, ϕ′)= ∫ xϕ′(x)dx − ∫ xϕ′(x)dx =
|
|
−∞ |
0 |
|
|
|
∞ |
0 |
∞ |
xϕ |
|
0∞ + ∫ϕ(x)dx = − ∫ϕ(x)dx + ∫ϕ(x)dx = |
|
|
0 |
−∞ |
0 |
∞
= ∫[h(x)− h(− x)]ϕ(x)dx = (h(x)− h(− x), ϕ).
−∞
Производная x как обобщенной функции равна h(x)−h(− x), где h(x) – функция Хевисайда.
