Методы вычислительной математики

Для всего ансамбля конечных элементов, покрывающего исследуемую область, в результате ансамблирования все внутренние усилия будут исключены из результирующей системы линейных алгебраических уравнений. В конечном итоге в нее войдут лишь самые внешние поверхностные нагрузки, задаваемые граничными условиями вида (15.4).

15.2. Плоско-деформированное состояние

В плоско-деформированном состоянии находятся тела, форма и размеры поперечного сечения которых, а также условия нагружения не зависят от одного из направлений. Размер тела в этом направлении велик, и продольной деформацией можно пренебречь. В качестве примера рассматривается длинный брус (рис. 15.2, а), находящийся на твердой горизонтальной площадке под действием вертикальной нагрузки, не изменяющейся вдоль оси z. Форма и размеры его поперечного сечения вдоль этой же оси не изменяются.

Для рассматриваемого случая, как показывают экспериментальные наблюдения, продольная деформация пренебрежимо мала, и можно считать, что εzz = 0 . Кроме того, из анализа геометрических условий следует, что

γxz = 0, γyz = 0 .

Рис. 15.2. Схема плоско-деформированного состояния бруса (а); форма его поперечного сечения (б)

341

С учетом этих допущений из соотношений закона Гука (15.15) для упругого деформирования получаются выражения

σxx = E [(1 − ν)εxx + νε yy ](1 + ν)(1 − 2ν),

σyy = E[νεxx + (1 − ν)ε yy ](1 + ν)(1 − 2ν),

σzz = Eν(εxx + εyy )(1 + ν)(1 − 2ν),

σxy = Eγ xy 2(1 + ν), σxz = 0, σyz = 0.

С другой стороны, из закона Гука следует:

εzz = σzz E − ν(σxx + σ yy )E .

Всилу условия εzz = 0

σzz = ν(σxx + σyy ),

то есть компонент σzz тензора напряжений не является независимой величиной. В этом случае матричное соотношение (15.16) представляется в виде

откуда следует вид матриц [D] и {R}:

ной z, в системе разрешающих соотношений (15.12) остаются лишь два уравнения:

342

В матричной форме эти уравнения записываются в виде, аналогичном выражению (15.14). Вид матрицы {σm} определен выражением (15.20), а также используются обозначения

Связь компонентов тензора деформаций и вектора перемещений определяется в виде, аналогичном выражению (15.18), где

С учетом введенных обозначений окончательно система алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения имеет вид, совпадающий с выражением (15.19). Необходимо отметить, что при интегрировании по области Ω и границе Г

∫ f (x, y)dΩ = ∫ f (x, y)dxdydz = L ∫ f (x, y)dxdy = L ∫ f (x, y)dΩ ,

Ω Ω Ωp Ωp

∫ f (x, y)dΩ = ∫ f (x, y)dxdydz = L ∫ f (x, y)dxdy = L ∫ f (x, y)dΓ ,

Γ Γ Γp Γp

причем во всех слагаемых системы уравнений (15.19) появляется общий множитель L, равный размеру рассматриваемого тела в направлении оси z, который можно сократить. Интегрирование в дальнейшем производится только по об-

ласти Ωp поперечного сечения и по контуру Γp границы (рис. 15.2, б). Реализа-

ция разрешающих соотношений производится на треугольных конечных элементах с линейной интерполяцией решения внутри каждого из них,

u = u ϕ + u ϕ + u ϕ ,

m i i j j k k

v = v ϕ + v ϕ + v ϕ ,

m i i j j k k

где i, j, k – номера вершин произвольного конечного элемента, пробные функции ϕi, ϕj, ϕk определены выражениями (13.5). В матричной форме эти выражения представимы в форме

Соответственно матрицы [Br], r = i, j, k, имеют вид

343

система уравнений (15.19) преобразуется к форме

344

При выводе этих выражений принято, что в пределах конечного элемента модуль упругости Е, температура T, коэффициенты Пуассона ν и температурного расширения материала χ постоянны; Sp – площадь p-го треугольного конечного элемента. Вводятся матричные обозначения:

где {up} – вектор всех узловых перемещений p-го треугольного конечного элемента, [Kp] – матрица жесткости для этого же конечного элемента. Теперь

345

Так как форма поперечного сечения является симметричной, можно рассматривать лишь четверть исследуемой области (см. рис. 15.3, б). Кинематические граничные условия указаны на этом же рисунке. Поскольку плиты, деформирующие полосу, гладкие, трение между ними и стальной полосой отсутствует, касательные усилия на контактной поверхности равны нулю.

На свободной боковой поверхности полосы отсутствуют как нормальные, так и касательные нагрузки. Для упрощения анализа алгоритма определения напряженно-деформированного состояния объекта рассматриваемая часть поперечного сечения полосы аппроксимируется только двумя конечными элементами 123 и 134, как это показано на рис. 15.3, б.

Пробные функции, ассоциированные с узлами первого треугольного элемента, показанного на рис. 15.4, определены в виде

346

ϕ1 =1 − y, ϕ3 = x, ϕ4 = y − x .

С использованием этих функций формируется матрица жесткости первого конечного элемента,

Поскольку модуль упругости стали E = 2×1011 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,3, площадь конечного элемента S1 = 0,5, коэффициенты матрицы жесткости принимают следующие числовые значения:

Для упрощения принято, что массовые силы и температурные нагрузки отсутствуют, то есть для обоих элементов {ρF1} и {ρF2 } равны нулю. Для подсчета значений {F1} вся граница первого конечного элемента представляется ввиде суммы Г= Г1 + Г2 + Г3 (см. рис. 15.4), при этом считается, что вдоль каждой границы конечногоэлементаповерхностныенагрузкипостоянны.

На границе Г1 касательная нагрузка Fy1 = 0 в силу симметрии расчетной схемы; на границе Г2 усилие Fx2 = 0 вследствие отсутствия трения между плитой и полосой. Подсчитываются интегралы, содержащие функцию ϕ1 =1− y,

∫ Fxϕ1dΓ = ∫Fx1ϕ1dΓ + ∫Fx2ϕ1dΓ + ∫ Fx3ϕ1dΓ.

347

Вычисляются значения каждого из интегралов в этом выражении,

На наклонной границе удобнее перейти к локальным координатам и вычислить интеграл

∫ Fx3ϕ1dΓ = Fx3 ∫2(1 − ξ 2)dξ = Fx3 2 2.

Γ3 0

Рис. 15.4. Треугольные конечные элементы, аппроксимирующие поперечное сечение полосы (плоско-деформированное состояние)

Суммированием полученных выражений определяется значение интеграла на всей границе Г,

∫ Fxϕ1dΓ = Fx1 2 + Fx3 2 2 .

Γ

Для вертикальной составляющей поверхностных сил интеграл вычисляется аналогично,

∫ Fy ϕ1dΓ = ∫ Fy1ϕ1dΓ + ∫ Fy2ϕ1dΓ + ∫Fy3ϕ1dΓ,

348

∫ Fy3ϕ1dΓ = Fy3 ∫2(1 − ξ 2)dξ = Fy3 2 2 .

Γ3 0

Для всего интеграла получается значение

∫ Fy ϕ1dΓ = Fy3 2 2.

Γ

Вычисляются интегралы, содержащие функцию ϕ3 = x ,

Пробные функции для второго треугольного элемента (см. рис. 15.4):

ϕ1 =1 − x, ϕ2 = x − y, ϕ3 = y .

349

Матрица жесткости второго конечного элемента имеет представление