Методы вычислительной математики

функцию ϕ3 = y ,

Вектор нагрузок для второго конечного элемента (см. рис. 15.4) имеет вид

Система алгебраических уравнений для второго конечного элемента:

Для выполнения ансамблирования системы алгебраических уравнений для каждого из элементов расширяются за счет добавления неизвестных величин узловых перемещений. В первую систему уравнений добавляются u2 , v2 , во

вторую – неизвестные u4 , v4 . Системы уравнений принимают вид

351

Покомпонентное сложение левых и правых частей обеих расширенных систем уравнений позволяет избавиться от внутренних усилий Fx3 , Fy3 , действующих на внутренней границе Г3,

Полученная система, содержащая восемь уравнений, имеет определитель, равный нулю. В этом легко убедиться, поскольку сумма элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы коэффициентов равна нулю, что свидетельствует о линейной зависимости полученных уравнений. Для получения корректного решения следует изменить граничные условия рассматриваемой задачи: необходимо поставить условия закрепления выделенного фрагмента рассматриваемой области. Из условия симметрии следует (см. рис. 15.3, б), что u1 = 0, v1 = 0, v2 = 0, u4 = 0. При заданных перемещениях плит

v3 = − , v4 = − ,

где – величина заданного перемещения. В результате оказываются неизвестными и подлежат определению лишь узловые перемещения u2 , u3 . Из получен-

ной системы восьми уравнений выбираются уравнения, не содержащие неизвестные усилия Fx1, Fy2 , Fy5 на границе,

352

u3 = 3 7 перемещения, из оставшихся уравнений системы можно определить усилия, действующие на границе области. Из первого уравнения следует

Fx1 = E(1,8u1 + 0v1 −1,4u2 + 0,6v2 + 0u3 −1v3 − 0,4u4 + 0,4v4 )1,04 =

Знак минус в последнем результате показывает, что усилие Fy2 действует

в направлении, противоположном указанному на рис. 15.4. Для оценки точности полученные значения сравниваются с аналитическим решением той же задачи, приведенным в [31]. Перемещение плиты связано с величиной развиваемого плитами давления P соотношением

= (1 − ν2 )PE .

Перемещение U боковой стенки полосы определяется давлением P,

U = ν(1 + ν)PE .

Исключение P из этих выражений дает

353

σzz = λ(εxx + εyy + εzz )+ 2Gεzz = 0

вычисляется компонент тензора деформации

εzz = −λ(εxx + εyy )(λ + 2G)= −ν(εxx + εyy )(1 − ν).

Это означает, что из шести компонентов тензора деформации независимыми являются лишь три: εxx, εyy и γxy. Кроме того, с учетом условия

σyz = Gγyz = 0, σzx = Gγzx = 0 .

остальные компоненты тензора напряжений определяются выражениями

σxx = (λ + 2G)εxx + λεyy + λεzz = Eεxx (1 − ν2 )+ νEεyy (1 − ν2 ),

354

σyy = νEεxx (1 − ν2 )+ Eε yy (1 − ν2 ),

σxy = 2Gεxy = Eγ xy 2(1 + ν).

Полученные выражения позволяют установить связь компонентов векторов напряжения и деформации в виде (15.16), где

в ряд по пробным функциям соответствует выражению (15.19) с матрицами [Bk], [ϕk], {F} и {ρF}, определенными в разделе 15.2.

15.4. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние

При условиях осевой симметрии формы рассматриваемой конструкции и осесимметричных граничных кинематических и силовых условиях (форма тела и условия его нагружения не зависят от угла θ, рис. 15.6, а) принимается допущение, что сдвиговые деформации γrθ = 0, γ zθ = 0 , и согласно закону Гука (15.15) компоненты тензора напряжения σrθ = 0, σzθ = 0. Это, в свою очередь,

означает, что при анализе напряженно-деформированного состояния можно рассматривать не все тело, а только его сечение в плоскости rz (рис. 15.6, б).

Рис. 15.6. Схема расчета напряженно-деформированного состояния осесимметричного тела (а) и сетка конечных элементов (б)

355

Согласно (15.15) зависимость между компонентами тензоров напряжения и деформации принимает вид

σrr = (λ + 2G)εrr + λεθθ + λεzz = E[(1 − ν)εrr + νεθθ + νεzz ](1 + ν)(1 − 2ν), σθθ = E[νεrr + (1 − ν)εθθ + νεzz ](1 + ν)(1 − 2ν),

σzz = E[νεrr + νεθθ + (1 − ν)εzz ](1 + ν)(1 − 2ν),

σrz = Gγrz = Eγrz 2(1 + ν).

Эти выражения позволяют записать связь компонентов тензоров напряжения и деформации в матричной форме (15.16), где обозначено:

Для построения системы разрешающих соотношений вида (15.11) используются коэффициенты Ляме, которые в цилиндрической системе координат принимают значения Hr =1, Hθ = r, H z =1. Ковариантные производные согласно [29] определяются выражениями

j ai = ∂ai∂x j + Γsji as .

Вцилиндрической системе координат символы Кристоффеля, отличные от нуля, принимают значения

Γθθr = −r, Γθθr = Γrθθ = r −1 .

Подстановка этих формул в соотношения (15.11) приводит к выражению (в физических компонентах тензоров и векторов)

356

симметричного напряженно-деформированного состояния σrθ = 0, σzθ = 0, проб-

которая в матричной записи имеет вид

357

или

остальные обозначения введены ранее. Для записи кинематических соотношений компоненты вектора перемещений представляются в виде

Для цилиндрической системы координат (с учетом осевой симметрии на- пряженно-деформированного состояния) связи компонентов тензора деформации и вектора перемещений устанавливаются формулами

i=1

которые в матричной записи имеют вид

Последовательная подстановка (15.16) и последнего выражения в соотношение (15.22) приводит к системе алгебраических уравнений метода Галеркина для осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, совпадающей по виду с выражением (15.19),

358

Подынтегральные выражения содержат интегралы по области Ω, занимаемой кольцевым конечным элементом. Для функции f(r, z) в цилиндрических координатах это соответствует выражению

∫ f (r, z)dΩ = ∫ f (r, z)rdrdθdz = 2π ∫ f (r, z)rdrdz.

При определении коэффициентов матрицы жесткости конечного элемента приходится вычислять интегралы вида

и прочие. Даже при аппроксимации решения с использованием линейных пробных функций ϕi (r, z) это представляет значительные трудности. Практика использования метода Галеркина показывает, что с приемлемой точностью интегралы такого вида можно заменять приближенными выражениями

∫ f (r, z)rdrdz ≈ f (r, z )r ∫drdz = f (r, z )rS p ,

где r, z – координаты «центра тяжести» конечного элемента, Sp – площадь конечного элемента. Очевидно, что точность такого приближения повышается с уменьшением размеров конечных элементов.

15.5. Решение задач упругопластичности

Рассматривается частный случай связи напряжений и деформаций

с использованием теории малых упругопластических деформаций Г. Генки, постулирующий пропорциональность девиаторов тензоров напряжений и деформаций1, где eij = εij − δij θ3 , sij = σij − δij σ3, σ = σ11 + σ22 + σ33 . С помощью со-

1 А.А. Ильюшиным установлено, что закон малых упругопластических деформаций справедлив в тех случаях, когда процесс нагружения является простым. Это имеет место,

359

отношения (15.23) устанавливается связь интенсивности деформации εi (второго инварианта тензора деформации) с интенсивностью напряжения σi (вторым инвариантом тензора напряжений),

εi = 2eij eij 3 = 2ψ 3sij sij 2 3 = 2ψσi 3.

Предполагая справедливость гипотезы единой кривой и учитывая условие пластического течения σi = σT (εi ), параметр ψ в соотношении (15.23) может быть определен выражением

15.5.1. Метод переменных параметров упругости

Спомощью соотношения (15.23) устанавливается связь компонентов тензоров напряжений и деформаций:

σij = sij + δij σ = eij ψ + δij σ = (εij − δij θ3)ψ + δij σ3 = εij ψ + δij (σ − θψ)3.

Сучетом зависимости между величинами σ и θ,

физические уравнения теории малых упругопластических деформаций принимают форму

σij = εij ψ + δij θ[Eψ − (1 − 2ν)]3(1 − 2ν)ψ.

Полученное выражение может быть представлено в форме, аналогичной записи закона Гука для упругого деформирования (15.15),

если внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру. Для простого нагружения достаточно, чтобы σi и εi были связаны степенным соотношением вида σi = Aεiα .

Ильюшин Алексей Антонович [1911 – 31.05.1998] – русский ученый-механик. В 1933 году окончил МГУ. В 1937 году защитил кандидатскую, а в 1938 – докторскую диссертацию. С 1938 года являлся профессором МГУ, с 1946 года заведовал кафедрой теории упругости. Он был председателем совета Академии наук по проблемам прочности и пластичности, членом президиума ВАК, Национального комитета по теоретической и прикладной механике, Генеральной ассамблеи международного союза по теоретической и прикладной механике (IUTAM), руководил работой научно-исследовательских институтов. Работы А.А. Ильюшина посвящены механике сплошных сред, теории пластичности, вязкопластичности, вязкоупругости, прочности конструкций и изделий, механике полимерных и композиционных материалов, аэродинамике сверхзвуковых скоростей, статическим и динамическим испытаниям материалов и конструкций. Им был предложен метод упругих решений, который широко используется в практике инженерных расчетов.

360