Методы вычислительной математики

u~(1) = tg(1) −1, u~x′(0) = [1 − cos(1)]cos(1).

В результате получены значения искомой функции u~(1) и ее производ-

~′( )

ной ux 0 на концах рассматриваемого отрезка без непосредственного решения исходного дифференциального уравнения.

17.1. Фундаментальное решение

Принимается, что взвешивающие функции удовлетворяют уравнению1

Соотношение (17.3) позволяет определить значение um искомой функции в точке xk внутри области Ω, поскольку все величины, входящие в подынтегральные выражения, стоящие в правой части, либо заданы граничными условиями, либо уже найдены из решения уравнения (12.11).

Пример 17.2. Для задачи из примера 17.1 построить фундаментальное решение и определить значение искомой функции для точки xk, лежащей внутри рассматриваемого отрезка [0, 1].

Фундаментальным решением для этой задачи является функция, удовлетворяющая уравнению

w′xx′ + w = δ(x − xk ).

Функция

w = sin(r)2, r = x − xk

является искомым фундаментальным решением. Действительно, пусть x > xk, в этом случае r = x – xk. Дифференцирование дает

w′x = cos(r)rx′2 = cos(r)2, w′xx′ = −sin(r)rx′2 = −sin(r)2.

Подстановка этих значений в уравнение приводит к выражению w′xx′ + w = −sin(r)2 + sin(r)2 = 0.

1 Решение уравнения (17.2) называется фундаментальным.

381

С другой стороны, пусть x < xk, тогда r = xk – x. Аналогично предыдущему случаю определяются производные,

w′x = cos(r)r′2 = −cos(r)2, w′′ = sin(r)r′2 = −sin(r)2.

Подстановка этих значений в проверяемое уравнение дает w′xx′ + w = −sin(r)2 + sin(r)2 = 0.

Пусть x = xk, то есть r = 0, w′xx′ → ∞ и, следовательно, дифференциальное уравнение терпит разрыв в рассматриваемой точке. Для проверки выполнения условий, накладываемых на δ-функцию, выполняется интегрирование дифференциального уравнения,

= cos(1 − xk )2 + cos(xk )2 + [1 − cos(xk )]2 + [1 − cos(1 − xk )]2 =1.

Таким образом показано, что функция w = sin(r)2 действительно является фундаментальным решением. Выражение

позволяющую определить значение функции u~ в точке xk. Подстановка фундаментального решения в это уравнение приводит к выражению

= [1 − cos(1)]sin(xk )2cos(1)+ [tg(1) −1]cos(1 − xk )2 −

382

=[1−cos(1)]sin(xk )2cos(1)+[tg(1)−1]cos(1− xk )2 −[xk −sin(xk )]2 − − [xk + sin(1 − xk ) − cos(1 − xk )]2 = sin(xk )cos(1)− xk .

Точное решение рассмотренной задачи: u(x) = sin(x)cos(1)− x .

Пример 17.3. Решить уравнение (17.2), записанное для трехмерной бесконечной однородной и изотропной области.

Пространственное поле ψk, порождаемое точечным источником, имеющим координаты (xk , yk , zk ), в этом случае зависит лишь от расстояния

r = (x − xk )2 + (y − yk )2 + (z − zk )2 между источником и произвольной точкой (x, y, z). Решением является функция

Поскольку решение задачи не зависит от направления, определяемого углами ϑ, ω, уравнение (17.2) принимает вид (источник находится в начале сис-

темы координат, r = 0)

2r −1ψ′k ,r + ψ′k′,rr = δ(r).

Последовательное дифференцирование функции ψk дает выражения

ψ′k ,r =14πr 2, ψ′k′,rr = −12πr3,

при подстановке которых дифференциальное уравнение для r ≠ 0 удовлетворяется тождественно, поскольку δ(r)r≠0 = 0. Для исследования случая r = 0 следу-

ет рассмотреть шар радиусом ρ с центром в начале координат (здесь находится точечный источник). Интегрирование уравнения (17.2) в пределах этого шара с использованием теоремы Гаусса [22] приводит к выражению

∫ ψk dΩ = ∫ψ′k ,n dΓ = ∫ψ′k ,r dΓ,

ΩΓ Γ

подстановка в которое соответствующей производной дает

383

∫ ψk dΩ = ∫1 4πr2 dΓ = ∫dΓ 4πρ2 =1.

Ω Γ Γ

При интегрировании учтено, что на поверхности сферы r = ρ = const. Но это как раз и означает выполнение уравнения (17.2) независимо от величи-

ны радиуса сферы, поскольку ∫δ(r)dΩ =1. В прил. 3 представлен ряд фунда-

Ω

ментальных решений для некоторых дифференциальных уравнений. При выводе уравнения (17.3)

предполагалось, что точечный источник располагается внутри области Ω. Следует дополнительно рассмотреть случай, когда особая точка попадает на границу области, например xk ΓQ. На рис. 17.1 по-

казана часть области ГQ с точкой xk, причем эта особая точка окружена внешней полусферой ε с радиусом, равным ρ.

Рассматривается выражение (соответствует третьему слагаемому в форму-

ле (17.3)):

где ΓQ – ε – поверхность ΓQ без области, вырезанной полусферой ε. На поверхности полусферы ε производная в подынтегральном выражении равна

ψ′k,n = ψ′k,r =14πr2

и постоянна, причем r = ρ. Поэтому первое слагаемое в выражении (17.4) определяется выражением

∫umψ′k,ndΓ = ∫um dΓ 4πρ2 = um 2

εε

,

где um – среднее по поверхности полусферы ε значение um. Отсюда следует, что

∫umψ′k,ndΓ →um (xk ) 2.

ε→0

ε

384

Второе слагаемое соотношения (17.4) преобразуется к виду

где ΓQ′ соответствует границе ГQ с выколотой точкой xk. Для четвертого инте-

грала по границе ГQ, входящего в соотношение (17.3), выполняются аналогичные преобразования:

∫Qψk dΓ + ∫Qψk dΓ,

ΓQ −ε ε

где Q – среднее по поверхности полусферы ε значение Q. После выполнения всех преобразований для соотношения (17.3) получается выражение

um (xk ) = ∫Uψ′k ,n dΓ − ∫ψk um′ ,n dΓ + ∫umψ′k ,n dΓ + um (xk )2 − ∫Qψk dΓ + ∫ fψk dΩ,

В случае попадания особой точки xk на границу ГU результат преобразований получается аналогичным. Выражение (17.5) позволяет определять искомое решение um и u′m,n на всей границе Г области Ω, не прибегая к построению ре-

шения уравнения Лапласа (17.1), используя лишь фундаментальное решение, что позволяет сократить необходимые вычислительные ресурсы. Для удобства последующих преобразований вводятся обозначения:

385

~

или u j . Всего N = NU + NQ неизвестных. В пределах каждого граничного эле-

~ ~

мента Гj значения u j и q j считаются постоянными и приведенными к центру

этого элемента. Поскольку вся граница представляется объединением Γ = N Γj ,

где ψk – функция, являющаяся фундаментальным решением уравнения (17.2) при точечном источнике, расположенном в центре k-го граничного элемента.

С использованием обозначений

выражение (17.5) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений

каждое из которых получается при помещении точечного источника последовательно в центр соответствующего граничного элемента. В системе уравнений (17.6) содержатся 2N величин u~j , q~j . Однако из них известны NU величин

u~ =U на границе ГU и NQ значений q~ = Q на границе ГQ. Следовательно, система N уравнений (17.6) содержит ровно N неизвестных величин, подлежащих определению. После решения этой системы уравнений и определения решения на границе Г области Ω выражение (17.3) позволяет отыскать искомое решение в любой точке xk, лежащей внутри исследуемой области. В этом случае функция ψk является фундаментальным решением уравнения Пуассона с точечным источником, расположенным в точке xk.

387

Пример 17.4. На внутренней стенке Г1 длинного полого цилиндра с радиусами R1 = 0,5 м и R2 = 1 м (рис. 17.2) поддерживается постоянная температура T1 = 50 ºC. НаеговнешнейстенкеГ2 температура также постоянна, T2 = 100 ºC. Найти распределение температуры в стенке цилиндра.

Стационарное температурное поле в рассматриваемой области описывается дифференциальным уравнением эллиптического типа

Это дифференциальное уравнение совпадает с уравнением (12.1) (при условии f = 0), для которого разрешающие соотношения метода граничных элементов (17.6) уже построены. Для нахождения численного решения задачи граница рассматриваемой области аппроксимируется набором прямолинейных граничных элементов (см. рис. 17.2). Для удобства принято, что число граничных элементов N1 на границе Г1 равно числу граничных элементов N2 на границе Г2, то есть N1 = N2. →

При указанных граничных условиях и отсутствии внутренних источников тепла система уравнений метода граничных элементов (17.6) принимает вид

Здесь, как и ранее, принято, что искомые тепловые потоки qj постоянны в пределах соответствующих граничных элементов. При подсчете интегралов Gkj и Hkj учитывается [4], что фундаментальное решение двухмерного уравнения (17.2) имеет вид

ψk (r)= ln(r)2π, r = (x − xk )2 + (y − yk )2 .

При j ≠ k

388

Gkj = ∫ψk dΓ ≈ l j ψkj = l j ln(rkj )2π,

Γj

где lj – длина j-го граничного элемента, ψkj – значение функции ψk в центре j-го граничного элемента, расстояние rkj указано на рис. 17.2. Для вычисления Hkj необходимо определить производную

ψ′k,n = ψ′k,x nx +ψ′k, y ny ,

nx, ny – компоненты единичной нормали к границе. Поскольку

в центре j-го элемента значение производной равно

ψ′k,n j = [(x j − xk )x j +(y j − yk )y j ]2πR2rkj2 ,

и, соответственно,

При вычислении Hkk следует заметить, что нормаль к k-му граничному элементу направлена вдоль координатной линии r = const, вдоль которой значение ψk не изменяется. Но это означает, что производная ψ′k ,n = 0 и, соответ-

ственно, ∫ψ′k,ndΓ = 0, то есть Hkk = −12 . Решение сформированной системы

Γk

линейных алгебраических уравнений позволяет определить величины тепловых потоков q j , j =1, N1 + N2 на обеих границах Г1 и Г2, а также найти распределение поля температуры внутри рассматриваемой области,

389

T (rk )= ∫T1ψ′k ,n dΓ + ∫T2ψ′k ,n dΓ − ∫ψkT1′,n dΓ − ∫ψkT2′,n dΓ =

Для определения поля температуры внутри области выбраны 19 точек, расположенных равномерно вдоль радиуса цилиндра. Для проверки сходимости последовательности получаемых численных решений к точному решению указанной задачи выполнен ряд вычислительных экспериментов при различных числах N = N1 + N2 граничных элементов, аппроксимирующих границу расчетной области. Поскольку форма цилиндра и граничные условия осесимметричны, температура в стенке зависит только от радиуса r [38],

T (r)=T1 − (T1 −T2 )ln(rR1 )ln(R2 R1 ).

Для оценки сходимости численных результатов к этому точному решению

показаны погрешности T =Tk −T (rk ) численного решения рассматриваемой задачи при N1 = N2 = 8 и N1 = N2 = 128. На рис. 17.4 приведена зависимость погрешности численного решения задачи от общего числа N граничных элементов.

Рис. 17.3. Отклонение численного решения задачи теплопроводности от точного при числе граничных элементов

N = 16 ( – – ) и N = 128 ( –◊– )

390