Методы вычислительной математики

Решение этой системы уравнений дает значения коэффициентов

ν* = [Eψ − (1 − 2ν)][2Eψ + (1 − 2ν)],

E* = 3E[2Eψ + (1 − 2ν)].

Теперь соотношения теории малых упругопластических деформаций записаны в форме, аналогичной соотношениям теории упругости, что позволяет записать разрешающие соотношения метода Галеркина в форме

эквивалентной выражению (15.19), полученному для случая упругого деформирования материала.

Процесс поиска решения строится в следующей последовательности:

1. Во всей рассматриваемой области Ω напряженно-деформированное состояние предполагается упругим, то есть

ψ =12G = (1 + ν)E ,

вследствие чего ν* = ν, E* = E . Решением системы алгебраических уравнений (15.26) с граничными условиями, соответствующими поставленной задаче, определяются перемещения {ui }, i =1,m .

2. С использованием решения {ui }, i =1,m определяются компоненты тензора деформации и подсчитывается интенсивность деформаций εi. Это, в свою очередь, позволяет с помощью диаграммы σT (εi ) определить для каждого конечного элемента величину параметра ψ согласно выражению (15.24) и подсчитать значения переменных параметров упругости E* , ν* , то есть сформировать уникальную матрицу [D*] для каждого конечного элемента.

361

3. Формируется новая система уравнений (15.26) с вычисленными значениями матрицы [D*], и вновь определяются векторы {ui }, i =1, m , {εm }, {σm }, подсчитываются параметры ψ и вычисляются E* , ν* , и так далее. Итерационная

процедура выполняется до тех пор, пока для двух соседних итераций s и s + 1 выполняется условие

где ζ > 0 – заданная погрешность вычислений.

Геометрическая интерпретация итераций метода переменных параметров упругости показана на рис. 15.7.

σij = sij + δij σ = 2Geij + δij σ3 − (2G −1ψ)eij =

= 2G(εij −δij θ3)+δij σ3 −(2G −1ψ)(εij −δij θ3)=

=2Gεij + δij (σ − 2Gθ)3 − (2G −1ψ)(εij − δij θ3)=

= 2Gεij + δij λθ −(2G −1ψ)(εij −δij θ3).

Вводя, в соответствии с законом Гука (15.15), упругие напряжения

σije = λθδij + 2Gεij

и дополнительные напряжения

σ*ij = (2G −1ψ)(εij − δij θ3),

полные напряжения можно представить в виде

362

σij = σije − σ*ij .

Подстановка этого соотношения в уравнения (15.1) и (15.4) приводит к соотношениям

два полученных уравнения можно представить в виде

Теперь задачу упругопластичности можно рассматривать как задачу упругости с дополнительными массовыми силами ρF * и поверхностными нагруз-

ками F * . Разрешающие соотношения (15.19) метода Галеркина теперь представляются в форме

всей области Ω предполагается чисто упругое деформирование. Решением системы алгебраических уравнений (15.28) без слагаемых ∫[ϕk ]{F*}dΓ

ΓF

и ∫[ϕk ]{ρF *}dΩ определяются перемещения {ui }, i =1,m . Затем, согласно фор-

Ω

мулам (15.18) и (15.16), определяются деформации {εm} и напряжения {σm} во всех конечных элементах, аппроксимирующих исследуемую область Ω.

363

Контрольные вопросы и задания

15.1.Обоснуйте принцип построения системы пробных функций для пространственных (трехмерных) задач.

15.2.Покажите, что система пробных функций (15.6) для пространственных задач является полной и замкнутой.

15.3.Воспроизведите построение разрешающих соотношений метода Галеркина для уравнений равновесия деформируемого твердого тела с использованием конечно-элементной аппроксимации.

15.4.Сформулируйте основные гипотезы плоско-деформированного со-

стояния.

15.5.Сформулируйте основные гипотезы плоско-напряженного состояния.

364

15.6.Сформулируйте основные гипотезы осесимметричного напряженнодеформированного состояния.

15.7.Обоснуйте процедуру ансамблирования конечных элементов. Каким образом учитываются кинематические и силовые граничные условия при получении системы линейных алгебраических уравнений методом Галеркина?

15.8.Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании плоско-напряженного и плоско-деформированного состоянийтвердого тела.

15.9.Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании осесимметричного и плоско-деформированного состояний твердого тела.

15.10.Сформулируйте гипотезу единой кривой, используемую в теории малых упругопластических деформаций.

15.11.Сформулируйте условие пластического нагружения деформируемого материала.

15.12.Сформулируйте условия простого нагружения материала при упругопластическом деформировании.

15.13.Обоснуйте идею решения упругопластических задач с помощью последовательности решений задач упругости.

15.14.Опишите идею метода переменных параметров упругости. Приведите схему этого метода.

15.15.Опишите идею метода дополнительных нагрузок. Приведите схему этого метода.

365

16. МЕТОД ГАЛЕРКИНА: ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ

Пусть v = vxi + vy j + vz k – вектор скорости частицы жидкости. Вводятся

В дальнейшем рассматривается двумерное течение жидкости. В этом случае функция тока ψ (здесь и далее индекс z опускается) связана с компонентами vx и vy вектора скорости выражениями

Функция завихренности ω (вихрь скорости) определяется одним компонентом,

16.1. Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»

Рассматривается система уравнений Навье–Стокса в безразмерной форме [25], описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости,

366

Здесь обозначено: x, y – координаты произвольной точки рассматриваемой двумерной области, t – время, P – давление, Re = LV ν – число Рейнольдса, L,

V – характерные размер области и скорость течения, ν – коэффициент вязкости жидкости. Уравнение несжимаемости (16.6) при подстановке формул (16.2), то есть при использовании функции тока, –

v′x,x + v′y, y = ψ′xy′ − ψ′yx′ = 0

– выполняется тождественно. Дифференцирование уравнения (16.4) по переменной y, уравнения (16.5) – по переменной x приводит к выражениям

(v′x, y )′t + v′x, y v′x,x + vxv′x′, yx + v′y, y v′x, y + vy v′x′, yy = −Pyx′′ + Re−1 (v′x′′, yxx + v′x′′, yyy ),

(v′y,x )′t + v′x,xv′y,x + vxv′y′,xx + v′y,xv′y, y + vy v′y′,xy = −Pxy′′ + Re−1 (v′y′′,xxx + v′y′′,xyy ).

Вычитание первого выражения из второго дает соотношение

(v′y,x −v′x,y )t′ +vx (v′y,x −v′x,y )′x +vy (v′y,x −v′x,y )′y +v′y,y (v′y,x −v′x,y )+v′x,x (v′y,x −v′x,y )=

С использованием уравнения несжимаемости (16.6) и определения (16.3) функции завихренности ω полученное соотношение принимает вид дифференциального уравнения

Подстановка формул (16.2) в выражение (16.3) позволяет получить дифференциальное уравнение относительно функции тока ψ,

ω= v′y,x − v′x, y = (− ψ′x )′x − (ψ′y )′y ,

Выполненные преобразования позволили тождественно удовлетворить уравнению несжимаемости (16.6) и исключить из уравнений Навье–Стокса давление P. Решение системы уравнений (16.7) и (16.8) позволяет найти распределения функций ω и ψ, а использование соотношений (16.2) – определить

367

компоненты vx и vy вектора скорости. С другой стороны, дифференцирование уравнения (16.4) по переменной x,

и сложение полученных выражений с учетом уравнения несжимаемости (16.6) приводит к соотношению

которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно давления P в случае, если распределения компонентов vx и vy вектора скорости найдены из решения предыдущих уравнений. Преобразование уравнения несжимаемости (16.6)

0 = (v′x,x + v′y, y )2 = (v′x,x )2 + (v′y, y )2 + 2v′x,xv′y, y , (v′x,x )2 + (v′y, y )2 = −2v′x,xv′y, y

позволяет привести уравнение (16.9) к виду

Pxx′′ + Pyy′′ = 2v′x,xv′y, y − 2v′y,xv′x, y ,

а с учетом формул (16.2) – записать это уравнение в форме

Pxx′′ + Pyy′′ = 2ψ′xx′ ψ′yy′ − 2(ψ′xy′ )2 .

16.2. Граничные условия

Поскольку в прикладных задачах краевые условия обычно ставятся в естественных переменных vx, vy и P, необходимо рассмотреть особенности постановки граничных условий для функций тока и завихренности.

16.2.1. Граничные условия для функции тока

Пусть n ={cos(α), sin(α)} – вектор единичной внешней нормали к границе Γ рассматриваемой области Ω, τ ={sin(α), − cos(α)} – единичный касатель-

ный вектор (рис. 16.1). Проекции вектора скорости на векторы n и τ определяются выражениями

vn = vx cos(α) + vy sin(α) = ψ′y cos(α)− ψ′x sin(α) = −ψ′τ , vτ = vx sin(α) − vy cos(α)= ψ′y sin(α) + ψ′x cos(α) = ψ′n .

368

16.2.2. Граничные условия для функции завихренности

Для записи граничных условий для функции завихренности на твердой границе выбирается произвольная точка A. На расстоянии l от нее по нормали в глубь области Ω выбирается точка B (см. рис. 16.1). Вблизи точки B функция тока ψ разлагается в ряд Тейлора,

Поскольку, как показано ранее, ψ′n = vτ , ψ′τ = −vn и согласно (16.8)

ω A = −[ψ′xx′ + ψ′yy′ ]A = −[ψ′ττ′ + ψ′nn′ ]A = [v′n,τ − ψ′nn′ ]A ,

получается

Отсюда следует формула Тома [37] для функции завихренности,

В частности, vn = 0 вдоль твердой границы, и формула (16.11) для граничного условия упрощается,

369

16.3. Соотношения метода Галеркина

Решения дифференциальных уравнений (16.7) и (16.8) в пределах отдельного треугольного конечного элемента представляются в форме

ψm (x, y) = ∑ψr ϕr (x, y) = ψiϕi + ψ j ϕj + ψk ϕk ,

r=i, j,k

ωm (t, x, y) = ∑ωr (t)ϕr (x, y)= ωiϕi + ωj ϕj + ωk ϕk ,

r=i, j,k

где пробные кусочно-линейные функции для p-го конечного элемента имеют вид

ϕr (x, y)= αr + βr x + γr y, r = i, j,k ,

ψr , ωr (t) – узловые значения функций ψm и ωm, подлежащие определению.

16.3.1.Разрешающие соотношения для функции тока

Пусть приближенное решение ωm уравнения (16.7) для некоторого момента времени t известно. Невязка уравнения (16.8) на приближенном решении ψm

1 Согласно [22] поток вектора Φ через замкнутую поверхность Г равен интегралу от

С 1816 по 1820 год учился в Харьковском университете, с 1822 по 1828 год слушал лекции О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье в Париже. В 1828 году стал профессором офицерских классов Морского кадетского корпуса, с 1830 года – профессором Института корпуса инженеров путей сообщения. В 1830 году избран в Петербургскую академию наук. Занимал должности профессора в Главном педагогическом институте (с 1832 года), в Главном инженерном училище (с 1840 года), в Главном артиллерийском училище (с 1841 года). Один из основателей Петербургской математической школы. Основные труды относятся к математическому анализу, теоретической механике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей.

370