Методы вычислительной математики

и сделать оценку по модулю:

αmax δθmax ≤ δf j + ∑ αk δθk .

k≠max

Выбирается узел, в котором δθ достигает наибольшего значения. Одновременно усиливается последнее неравенство с помощью замены в правой час-

ти всех величин δθk на δθ , а δf j – на δf :

αmax δθ ≤ δf + δθ ∑ αk .

k ≠max

Полученное выражение преобразуется к виду

откуда, с учетом (10.24), получается

что совпадает с определением устойчивости разностной схемы по правой части. Что и требовалось доказать.

Условия рассмотренной теоремы формулируют лишь достаточные условия устойчивости. Иначе говоря, невыполнение условий (10.23)–(10.24) не означает неустойчивости разностной схемы.

Пример 10.2. Проверить условия устойчивости для неявной разностной схемы (10.18) задачи теплопроводности

θj−1 (−ηh2 )+ θj (1 τ+ 2η h2 )+θj+1 (−ηh2 )= θj τ.

Для коэффициентов уравнения используются введенные обозначения

αmax =1τ + 2ηh2 , α j−1 = −ηh2 , α j+1 = −ηh2 , βj =1τ.

Условие устойчивости по начальным данным (10.23) принимает вид неравенства

1τ + 2ηh2 ≥ ηh2 + ηh2 +1τ,

241

выполняющегося для любых значений шагов τ и h. Следовательно, рассмотренная разностная схема безусловно устойчива. Условие устойчивости по правой части определяется выражением

1τ + 2ηh2 − ηh2 − ηh2 ≥1 τ ≥ ω τ,

которое также выполняется для всех значений шагов τ и h (например, для 0 < ω<1). Общий вывод: рассмотренная неявная разностная схема безусловно устойчива как по начальным данным, так и по правой части.

Пример 10.3. Проверить условия устойчивости для явной разностной схемы (10.16) задачи теплопроводности

(θj −θj )τ = η(θj+1 − 2θj + θj−1 )h2 .

Разностное уравнение преобразуется к подходящему для анализа виду

θj τ = θj−1η h2 + θj (1 τ − 2η h2 )+ θj+1ηh2 .

Очевидно, что в этом случае отличны от нуля коэффициенты

αmax =1τ, βj+1 = ηh2 , βj =1τ − 2ηh2 , βj−1 = ηh2 .

Условие устойчивости по начальным данным (10.23) принимает вид неравенства

1 τ ≥ η h2 + η h2 + 1 τ − 2η h2 ,

1 τ − 2η h2 ≤1 τ − 2η h2 ,

раскрывая которое,

2ηh2 −1 τ ≤1 τ − 2ηh2 ≤1τ − 2ηh2,

можно получить условие устойчивости по начальным данным,

Это означает, что рассматриваемая схема является условно устойчивой. Условие устойчивости по правой части

1τ ≥ ωτ

выполняется для всех значений 0 < ω < 1.

Общий вывод: явная разностная схема является условно устойчивой при выполнении условия (10.26), ограничивающего шаг интегрирования τ.

242

Метод Неймана1

Рассматривается разностная схема (10.16)

(θj −θj )τ = η(θj+1 − 2θj + θj−1 )h2.

Если внести возмущение δθ в решение θ на каком-либо временном слое,

которое удобно переписать в виде

δθj = δθj−1τη h2 + δθj (1−2τη h2 )+ δθj+1τηh2 .

Погрешность δθ решения разлагается в ряд

гармоника этого разложения

δθ(k )(x) = ak eikx

подставляется в разностное уравнение:

δθ(jk ) = ak eikx j−1 τηh2 + (1 − 2τηh2 )ak eikx j + ak eikxj +1 τηh2 = = ak eikx j [1 + (e−ikh − 2 + eikh )τηh2 ]= ρk ak eikx j = ρk δθ(jk ) .

1 Джон Нейман фон [28.12.1903 – 8.2.1957] – американский математик. В 1926 году окончил Будапештский университет. В 1927–1929 годах преподавал в Берлинском университете, 1930–1933 – в Принстонском университете. С 1933 года – профессор Принстонского института перспективных исследований. С 1940 года работал консультантом армейских и морских учреждений; принимал участие в работах по созданию первой атомной бомбы. С 1954 года был членом комиссии по атомной энергии. Внес большой вклад в создание первых ЭВМ и разработку методов их применения.

243

Учитывая формулу Эйлера1, выражение для коэффициента роста произвольной гармоники можно преобразовать к виду

относительно погрешностей δθj (при отсутствии возмущения правой части) записывается в виде

Bδθj = (B − τA)δθj .

Подстановка в него выражений для δθj приводит к уравнению относительно коэффициента роста произвольной гармоники

ρk Beikxj = (B − τA)eikxj .

Теорема 10.4 (признак устойчивости Неймана). Разностная схема с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех k выполняется неравенство

Доказательство. Возмущение начальных данных разлагается в ряд:

δθ(t0 , x j )= ∑n−1 ak eikxj. k =0

Подстановка этого разложения в разностную схему (10.30) благодаря линейности последней приводит к выражению

δθ(tm , x j )= ∑n−1 (ρk )m ak eikx j . k=0

На разностной сетке Ω в силу ортогональности гармоник

1 Формула Эйлера: cos x + i sin x = eix .

244

В соответствии с условием1 (10.31),

δθ(tm ) l22 = (1 + Cτ)2m δθ(t0 ) l22 ,

δθ(tm ) l2 = (1 + Cτ)m δθ(t0 ) l2 .

Последнее выражение как раз и соответствует признаку равномерной устойчивости. Что и требовалось доказать.

Терема 10.5 (признак неустойчивости). Если хотя бы для одного k коэффициент роста гармоники ρk нельзя мажорировать величиной 1 + Cτ, C = const, то разностная схема (10.30) неустойчива.

Доказательство. Пусть в начальный момент имеется ошибка вида εeikx для заданной гармоники k. Тогда к моменту t = mτ она возрастет в (ρk )m раз, что по модулю больше величины

(1 + Cτ)m = (1 + Cτ)tτ > Ct

при сколь угодно большом C. Но неограниченный рост ошибки как раз и означает неустойчивость схемы.

Что и требовалось доказать.

Для разностной схемы (10.16) коэффициент роста гармоник определяется выражением (10.29). Поскольку функция sin2 (kh2) может изменяться в пределах от 0 до 1, наименьшее значение коэффициента роста гармоник

ρk =1 − 4τηh2

иможет стать меньше –1. Его значение ограничивается в соответствии с требованием теоремы 10.4:

ρk = 1 − 4τη h2 ≤1.

Отсюда получается:

−1 ≤1 − 4τηh2 ≤1, 4τηh2 ≤ 2 ,

1 Согласно [8] под l2 понимается эвклидово пространство ∞-мерных векторов

245

τ ≤ h2 2η,

что соответствует полученному ранее с помощью принципа максимума условию устойчивости по начальным данным (пример 10.3).

10.4.3. Сходимость разностного решения

Разностная схема (10.20) корректна, если ее решение существует и единственно при любых входных данных, а сама разностная схема является устойчивой.

Теорема 10.6. Если решение u задачи (10.19) существует, разностная схема (10.20) корректна и аппроксимирует задачу (10.19) на данном решении, то разностное решение сходится к точному1.

Доказательство. Используя введенное ранее определение аппроксимации, можно определить величины погрешностей аппроксимации

Но теперь решение u можно рассматривать как возмущенное по сравнению с uh решение задачи (10.20), соответствующее внесенным возмущенииям ψh правой части и νh краевых условий. В силу предположения об устойчивости разностной схемы имеет место утверждение:

ε > 0 δ(ε)> 0, uh − u < ε,

как только

при h < h0 . Отсюда следует, что

1 «Сокращенная» форма теоремы: из аппроксимации и устойчивости следует сходимость разностного решения.

246

ε > 0 h0 [δ(ε)]> 0, uh − u < ε, h < h0 .

Что и требовалось доказать.

Этим определяется порядок проведения исследования разностных схем: при выполнении условий аппроксимации, устойчивости и разрешимости разностной схемы (10.20) получаемое численное решение будет сходиться к точному решению поставленной краевой задачи (10.19).

Теорема 10.7. Если условия предыдущей теоремы выполнены, операторы Ah и Rh линейные, порядок погрешности аппроксимации равен p, то погрешность решения имеет порядок не ниже p.

Доказательство. Условие устойчивости представляется в виде

Используя определение погрешности решения zh = uh −u ,

можно представить выражения (10.20) выражениями

Применяя к ним формулу (10.32), можно получить

zh ≤ M 0 ψh + M1 νh .

В силу условия теоремы

ψh ≤ α0h p , νh ≤ α1h p ,

откуда следует, что

uh − u ≤ Mh p , M = α0 M 0 + α1M1 .

Что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы и задания

10.1.Запишите условия согласования начальных (10.3) и граничных (10.5) (или (10.6)) условий для задачи (10.2).

10.2.Запишите условия согласования начальных (10.8) и граничных (10.9) условий для задачи (10.7).

10.3.Покажите, как с помощью замены переменных задачу (10.2)–(10.4) можно свести к задаче с однородными граничными условиями (10.13).

247

10.4.Укажите условия, при которых решение задачи (10.13) можно представлять в форме (10.14).

10.5.Проверьте порядок погрешности аппроксимации граничного условия (10.5) явным разностным аналогом (10.21) относительно шагов интегрирова-

ния τ и h.

10.6.Следует ли из равномерной устойчивости разностной схемы, что она устойчива и в обычном смысле?

10.7.Следует ли равномерная устойчивость разностной схемы из устойчивости в обычном смысле?

10.8.Укажите смысл коэффициента C в условии устойчивости (10.25).

10.9.Оцените порядок погрешности аппроксимации граничного условия (10.5) неявным вариантом схемы (10.21).

248

Выражение, стоящее в правой части этого соотношения, вычисляется для центра ячейки (на рис. 11.1, а, отмечено символом ×):

Для определения свойств разностной схемы (11.3) и оценки порядка погрешности аппроксимации этой схемой дифференциального уравнения (11.1) решение и правая часть разлагаются в ряды Тейлора:

u(ti+1, x j )= u(ti , x j )+ ut′(ti , x j )τ + utt′′(ti , x j )τ2 2 + O(τ3 ),

u(ti , x j−1 )= u(ti , x j )− u′x (ti , x j )h + u′xx′ (ti , x j )h2 2 + O(h3 ),

f (ti+1 2 , x j−1 2 )= f (ti , x j )+ ft′(ti , x j )τ2 − fx′(ti , x j )h2 + O(τ2 ,h2 ).

i + 1

i

Рис. 11.1. Варианты шаблонов для аппроксимации уравнения переноса

Погрешность аппроксимации разностной схемой дифференциального уравнения

ψij = [u(ti+1, x j )− u(ti , x j )]τ + v[u(ti , x j )− u(ti , x j−1 )]h − f (ti+1 2 , x j−1 2 )= = ut′(ti , x j )+ utt′′(ti , x j )τ2 + vu′x (ti , x j )− vu′xx′ (ti , x j )h2 −

250